1北里大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ を用い、点の位置を $A$ からの係数で表す。$CG$ は $AE$ と平行で長さも等しいので、$\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$ である。また $CG=3GP$ より $\displaystyle \overrightarrow{GP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$ である。したがって $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AE}$ となり、$\displaystyle 2\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\frac{8}{3}\overrightarrow{AE}$ を得る。

$B,D,E$ の位置係数はそれぞれ $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ だから、平面 $BDE$ 上の点の係数 $(x,y,z)$ は $x+y+z=1$ を満たす。直線 $AP$ 上の点の係数は $\displaystyle t(1,1,\frac{4}{3})$ であるから、交点 $Q$ について $\displaystyle t+t+\frac{4}{3}t=1$、すなわち $\displaystyle t=\frac{3}{10}$ である。よって $\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{10}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AE}$ である。

(2)(i) $f(x)=-x^3+4x^2-4x$ とすると、$f'(x)=-3x^2+8x-4=-(3x-2)(x-2)$ である。符号は $\displaystyle x<\frac{2}{3}$ で負、$\displaystyle \frac{2}{3}<x<2$ で正、$x>2$ で負となるので、極小となるのは $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ である。その値は $\displaystyle f(\frac{2}{3})=-\frac{32}{27}$ である。また $f''(x)=-6x+8$ は $\displaystyle x=\frac{4}{3}$ で符号が変わるため、変曲点の $x$ 座標は $\displaystyle \frac{4}{3}$ である。

(ii) 導関数の符号から、$f$ は $\displaystyle x<\frac{2}{3}$ で減少し、$\displaystyle \frac{2}{3}<x<2$ で増加し、$x>2$ で減少する。極小値は $\displaystyle -\frac{32}{27}$、極大値は $f(2)=0$ なので、水平線 $y=k$ が各単調区間と交わり異なる実数解を3個もつのは $\displaystyle -\frac{32}{27}<k<0$ のときに限る。等号の場合は極値点で重なるため異なる解は2個である。

(iii) $f(x)=-x(x-2)^2$ なので、零点は $x=0,2$ である。$0<x<2$ では $f(x)<0$ だから、囲まれた部分は $0\leq x\leq2$ にあり、その面積は $\displaystyle -\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2(x^3-4x^2+4x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+2x^2\right]_0^2=\frac{4}{3}$ である。

(3)(i) 漸化式から $b_n=a_{n+1}-a_n=2a_n-4n-1$ である。よって $$b_{n+1}=2a_{n+1}-4(n+1)-1=2(a_n+b_n)-4n-5=3b_n-4.$$ また $a_2=1$ だから $b_1=-1$。ここで $c_n=b_n-2$ とおくと $c_{n+1}=3c_n$、$c_1=-3$ であり、$b_n=2-3^n$ を得る。したがって $\text{シ}=3,\text{ス}=4,\text{セ}=2-3^n$ である。

(ii) $\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}b_j$ より $$\displaystyle a_n=2+\sum\limits _{j=1}^{n-1}(2-3^j)=2+2(n-1)-\frac{3^n-3}{2}=\frac{4n-3^n+3}{2}.$$ これは $n=1$ でも $a_1=2$ を与え、$a_{n+1}-a_n=2-3^n=b_n$ となるため漸化式の初期条件・差分に一致する。

(4)(i) 直線を楕円の式に代入すると $$x^2+2(mx+3)^2=2\quad\text{と同値な式は}\quad(1+2m^2)x^2+12mx+16=0.$$ この二次方程式が実数解をもたない条件は判別式が負となることであり、$\Delta=(12m)^2-4(1+2m^2)16=16(m^2-4)<0$。よって $-2<m<2$ である。

(ii) 楕円上の点を $P=(\sqrt{2}\cos\theta,\sin\theta)$ と表せる。直線の方程式を $mx-y+3=0$ とすると、距離は $$\displaystyle \frac{|mx-y+3|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|3+\sqrt{2}m\cos\theta-\sin\theta|}{\sqrt{m^2+1}}.$$ 三角関数の合成により $\sqrt{2}m\cos\theta-\sin\theta$ の範囲は $-\sqrt{2m^2+1}\le\sqrt{2}m\cos\theta-\sin\theta\le\sqrt{2m^2+1}$ である。また $-2<m<2$ なので $\sqrt{2m^2+1}<3$ となり、絶対値の中身は常に正である。したがって距離の最大値と最小値はそれぞれ $\displaystyle \frac{3+\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}$、$\displaystyle \frac{3-\sqrt{2m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}$ である。