3北里大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $0<x<\pi$ では $\cos x-1\ne0$ である。$c=\cos x$ とおくと $$\displaystyle \frac{3c-2}{c-1}=\frac73\quad\text{すなわち}\quad9c-6=7c-7\quad\text{すなわち}\quad c=-\frac12.$$ この区間では $\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}$ である。

(2) $t=\cos x$ とおけば $-1<t<1$ であり、 $$\displaystyle y=\frac{3t-2}{t-1}=3+\frac{1}{t-1}.$$ ここで $-2<t-1<0$ だから逆数 $1/(t-1)$ は $\displaystyle -\frac12$ より小さいすべての値をとる。従って $\displaystyle -\infty<y<\frac52$ であり、端の値は含まれない。

(3) 差関数を $$\displaystyle g(x)=3+\frac{1}{\cos x-1}-\sin x\qquad(0<x<\frac{\pi}{2})$$ とする。分母は区間内で0にならないため $g$ は連続であり、 $$\displaystyle g'(x)=\frac{\sin x}{(1-\cos x)^2}-\cos x.$$ この区間では $\sin x,\cos x>0$ かつ $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x>1$ なので $1-\cos x<\sin x<1$。ゆえに $$\cos x(1-\cos x)^2<(1-\cos x)^2<\sin x,$$ 従って $g'(x)>0$ である。さらに $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}g(x)=-\infty,\qquad\lim\limits _{x\to(\pi/2)-}g(x)=1.$$ よって端に十分近い二点で $g$ は異符号となる。連続性から零点が少なくとも一つあり、導関数が正であり、異なる $x$ に対して $g(x)$ は異なる値をとることから零点は高々一つである。したがって方程式を満たす実数 $x$ はただ1個である。