8長崎大学 2020年 数学 第8問解答・解説

長さ $a>0$ のひもで作るので、各正多角形の周長は $a$ である。

(1) 正三角形 $F_3$ の一辺は $a/3$ だから、 $$\displaystyle S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{a}{3}\right)^2 =\frac{\sqrt{3}a^2}{36}.$$ 正方形 $F_4$ の一辺は $a/4$ だから、 $$\displaystyle S_4=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{a^2}{16}.$$

(2) 正 $n$ 角形の一辺を $\ell_n=a/n$、中心を $O$、頂点を隣り合う $A,B$、辺 $AB$ の中点を $M$ とする。$OM\perp AB$ であり、$\angle AOM=\pi/n$ である。直角三角形 $OMA$ で $$\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}=\frac{AM}{OA} =\frac{a/(2n)}{r_n}$$ だから $$\displaystyle r_n=\frac{a}{2n\sin(\pi/n)}.$$ また $$\displaystyle \tan\frac{\pi}{n}=\frac{AM}{OM} =\frac{a/(2n)}{OM}$$ より、中心から辺 $AB$ までの距離は $$\displaystyle OM=\frac{a}{2n\tan(\pi/n)}.$$ 正 $n$ 角形は、底辺 $a/n$、高さ $OM$ の三角形 $n$ 個に分けられるので、 $$\displaystyle S_n=n\cdot\frac12\cdot\frac{a}{n}\cdot \frac{a}{2n\tan(\pi/n)} =\frac{a^2}{4n\tan(\pi/n)}.$$ この式に $n=3,4$ を代入すると (1) の結果とも一致する。

(3) $0<x\le\pi/3$ では $\sin x>0$, $\tan x>0$ なので微分して $$\displaystyle f'(x)=\frac{\tan x-x/\cos^2x}{\tan^2x} =\frac{\sin x\cos x-x}{\sin^2x}.$$ ここで $g(x)=x-\sin x\cos x$ とおくと、 $$g(0)=0,\qquad g'(x)=1-(\cos^2x-\sin^2x)=2\sin^2x>0 \quad(0<x\le\pi/3).$$ したがって $g(x)>0$、すなわち $f'(x)<0$ である。よって $f$ は $0<x\le\pi/3$ の範囲で、$x$ が大きくなると必ず小さくなる。

(4) $x_n=\pi/n$ とおくと、$n\ge3$ で $0<x_n\le\pi/3$ であり、$x_n>x_{n+1}$ である。(2) の面積は $$\displaystyle S_n=\frac{a^2}{4\pi}f(x_n)$$ と書ける。(3) より $f(x_n)<f(x_{n+1})$ であり、$a^2/(4\pi)>0$ だから $$S_n<S_{n+1}\qquad(n\ge3).$$

極限を求めるため、$0<x\le\pi/3$ で $u(x)=x-\sin x$, $v(x)=\tan x-x$ とおく。$u(0)=v(0)=0$ かつ $$u'(x)=1-\cos x>0,\qquad v'(x)=\tan^2x>0$$ だから $\sin x<x<\tan x$ である。よって $$\displaystyle \cos x<\frac{x\cos x}{\sin x}=f(x)<1.$$ $x\to0+$ のとき $\cos x\to1$ なので、はさみうちにより $f(x)\to1$。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n =\frac{a^2}{4\pi}\lim\limits _{n\to\infty}f\left(\frac{\pi}{n}\right) =\frac{a^2}{4\pi}.$$ この値は、円周の長さが $a$ の円の半径 $a/(2\pi)$ と面積 $\pi(a/(2\pi))^2$ に一致する。実際、$x=\pi/n$ とすると $$\displaystyle r_n=\frac{a}{2\pi}\frac{x}{\sin x}.$$ $w(x)=\sin x-x\cos x$ は $w(0)=0$, $w'(x)=x\sin x>0$ を満たすので、$\cos x<\sin x/x<1$ であり、$x/\sin x\to1$。従って $r_n\to a/(2\pi)$、また中心角 $2\pi/n\to0$ であるから、周長 $a$ を保つ正多角形が周長 $a$ の円に近づくときの面積がこの極限値である。