4旭川医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

問1(1). $B=(a\cos\theta,a\sin\theta)$ ($0<\theta<\pi/2$) とおく。縦方向の縮小後は $C=(a\cos\theta,b\sin\theta)$ なので、$\tan\angle COA=(b/a)\tan\theta=1$。よって $\tan\theta=a/b=\cot\alpha=\tan(\pi/2-\alpha)$ であり、$\theta=\pi/2-\alpha$ である。

問1(2). 縦方向に $b/a$ 倍すると面積も $b/a$ 倍になる。元の扇形の面積は $a^2\theta/2$ だから、$\operatorname{Area}(COA)=(b/a)(a^2\theta/2)=ab(\pi/2-\alpha)/2$。

問1(3). 楕円 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ は $(x,y)=(ar\cos\phi,br\sin\phi)$ ($0\le r\le1$) と表せる。線分 $OC$ ($y=x$) 上では $\tan\phi=a/b$ だから $\phi=\pi/2-\alpha$ となる。軸方向の倍率によって面積は $ab$ 倍になるので、図形 $COA$ の面積は $ab(\pi/2-\alpha)/2$ である。

分割する楕円 $x^2/b^2+y^2/a^2=1$ は $(x,y)=(br\cos\phi,ar\sin\phi)$ と表せる。$OC$ 上で $\tan\phi=b/a=\tan\alpha$ だから、原点側は $0\le\phi\le\alpha$ に対応する扇形であり、$m=ab\alpha/2$。従って点 $A$ 側は全体から引いて、$n=ab(\pi/2-\alpha)/2-ab\alpha/2=ab(\pi/2-2\alpha)/2$。

問2(1). 各楕円の面積は $\pi ab$ である。第一象限の $y\le x$ 側では共通部分が楕円 $x^2/b^2+y^2/a^2=1$ の内側にあり、上記と同じ軸方向の拡大縮小から面積は $ab\alpha/2$ となる。$y=x$ に関する対称性で第一象限の共通部分は $ab\alpha$、さらに四象限対称性から $s=4ab\alpha$。$T$ は $U_0$ と $V_0$ の対称差なので、$t=\operatorname{Area}(U_0)+\operatorname{Area}(V_0)-2s=2\pi ab-8ab\alpha$。従って $s=t$ より $4ab\alpha=2\pi ab-8ab\alpha$、すなわち $\alpha=\pi/6$。

問2(2). $S\cup T=U_0\cup V_0$ なので面積は $2\pi ab-s=ab(2\pi-4\alpha)$。$a^2+b^2=1$ と $\tan\alpha=b/a$ より $a=\cos\alpha$, $b=\sin\alpha$ であり、$f(\alpha)=\sin(2\alpha)(\pi-2\alpha)$ ($0<\alpha<\pi/4$)。微分すると $f'(\alpha)=2\cos(2\alpha)(\pi-2\alpha)-2\sin(2\alpha)=2\cos(2\alpha)(\pi-2\alpha-\tan(2\alpha))$。

$x=2\alpha$ とおくと $0<x<\pi/2$ であり 関数 $h(x)=x+\tan x$ は $0<x_1<x_2<\pi/2$ なら $h(x_1)<h(x_2)$ を満たし $0$ から $+\infty$ まで増える。従って $x+\tan x=\pi$ はただ一つの解 $x_0$ を持ち、$f$ はその前で増加し後で減少する。よって最大点は $\alpha_0=x_0/2$、すなわち $\tan(2\alpha_0)=\pi-2\alpha_0$ の唯一解である。$\pi/3+\tan(\pi/3)=\pi/3+\sqrt3<\pi$ なので $x_0>\pi/3$、従って $\alpha_0>\pi/6$。ゆえに $s-t=4ab\alpha_0-(2\pi ab-8ab\alpha_0)=2ab(6\alpha_0-\pi)>0$、従って $s>t$。