岡山大学 2011年数学第4問解答・解説

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1問題

岡山大学2011年度第4問

$f(x)=e^{-x^2}$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(a,f(a))$ における接線を $\ell$ 、原点 $O$ を通り $\ell$ に垂直な直線を $\ell'$ とし、 $\ell$ と $\ell'$ との交点を $P$ とする。

(1) 線分 $OP$ の長さを求めよ。

(2) $\ell$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とし、 $\angle POQ$ を $\theta\ (0\leq\theta\leq\pi)$ とする。 $\sin\theta$ を $a$ を用いて表せ。

(3) (2)で求めた $\sin\theta$ を最大にする $a$ の値と、そのときの $\sin\theta$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認接線の傾きを $m=-2ae^{-a^2}$ 、切片を $c=(1+2a^2)e^{-a^2}>0$ とすれば、 $\ell:y=mx+c$ 。 $\ell'$ の方向ベクトルを $(-m,1)$ 、 $P=t(-m,1)$ とおくと、点 $P$ が直線 $\ell$ 上にあることより $t=c/(1+m^2)$ 。したがって $\displaystyle OP=\frac{c}{\sqrt{1+m^2}} =\frac{(1+2a^2)e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}}.$

$Q=(0,c)$ で、 $OP\perp PQ$ 。 $a=0$ では $P=Q$ で式は $\sin\theta=0$ 、それ以外では直角三角形から $\displaystyle \sin\theta=\frac{|m|}{\sqrt{1+m^2}} =\frac{2|a|e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}}.$

$u=|a|\ge0$ 、 $g(u)=2ue^{-u^2}$ とおくと $\sin\theta=g(u)/\sqrt{1+g(u)^2}$ であり、右辺は $g\ge0$ について増加する。 $g'(u)=2e^{-u^2}(1-2u^2)$ より最大は $u=1/\sqrt2$ 。よって $a=\pm1/\sqrt2$ 、最大値は $\sqrt{2/(e+2)}$ 。

この問題で使う考え方

三角比と相互関係
座標による距離
指数関数のグラフ・増減
直線の方程式
導関数と増減
合成関数の微分
指数・対数関数の微分
積の微分

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