岡山大学 2011年数学第3問解答・解説

微分・積分の考え積分法数列極限

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1問題

岡山大学2011年度第3問

$n$ を自然数とする。曲線 $y=x^2(1-x)^n\quad(0\leq x\leq1)$ と $x$ 軸とで囲まれる図形の面積を $S_n$ とする。

(1) $S_n$ を求めよ。

(2) $T_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$ とするとき、 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

定積分を部分積分で評価し、得られた一般項を部分分数分解して和を望遠和にする。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle S_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}, \qquad \lim\limits _{n\to\infty}T_n=\frac{1}{6}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$0\leq x\leq1$ では $x^2(1-x)^n\geq0$ であるから、 $\displaystyle S_n=\int_0^1 x^2(1-x)^n\,dx.$

(1) 部分積分を用いると、 $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\left[-\frac{x^2(1-x)^{n+1}}{n+1}\right]_0^1+\frac{2}{n+1}\int_0^1x(1-x)^{n+1}\,dx\\&=\frac{2}{n+1}\left(\left[-\frac{x(1-x)^{n+2}}{n+2}\right]_0^1+\frac{1}{n+2}\int_0^1(1-x)^{n+2}\,dx\right)\\&=\frac{2}{n+1}\cdot\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}.\end{aligned}$

(2) 各項を部分分数分解すると、 $\displaystyle S_k=\frac{1}{(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+2)(k+3)}.$ したがって和は順に消去され、 $\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^n S_k=\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}.$ よって $n\to\infty$ のとき第2項は0に収束するので、 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=\frac{1}{6}.$

この問題で使う考え方

定積分
定積分による面積
部分積分法
階差・和の利用
数列の極限

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