岡山大学 2011年数学第1問解答・解説

いろいろな式数列数学的な表現の工夫

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1問題

岡山大学2011年度第1問

$t$ を実数とする。行列 $A=\begin{pmatrix}t&t-1\\1-t&2-t\end{pmatrix}$ について、次の問いに答えよ。

(1) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在することを示せ。

(2) $A+A^{-1},\ A-A^{-1},\ (A-A^{-1})^2$ を求めよ。

(3) $A^{2n}-tA^n\quad(n=1,2,3,\ldots)$ が $n$ によらない行列になるという。このときの $t$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$A^{-1}=\begin{pmatrix}2-t&1-t\\t-1&t\end{pmatrix},\quad A+A^{-1}=2E,\quad A-A^{-1}=2(t-1)\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\quad(A-A^{-1})^2=O,\quad t=1,2.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\det A=t(2-t)-(t-1)(1-t)=1$ より、すべての実数 $t$ で逆行列が存在し、 $A^{-1}=\begin{pmatrix}2-t&1-t\\t-1&t\end{pmatrix}.$ したがって $A+A^{-1}=2E, \quad A-A^{-1}=2(t-1)N, \quad N=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}.$ $N^2=O$ なので $(A-A^{-1})^2=O$ 。

また $A+A^{-1}=2E$ に左から $A$ を掛けると $A^2-2A+E=O$ 、すなわち $A=E+M$ 、 $M=A-E$ 、 $M^2=O$ である。二項定理から $A^n=E+nM$ だから $A^{2n}-tA^n=(1-t)E+n(2-t)M.$ これがすべての自然数 $n$ で一定となるには $(2-t)M=O$ が必要十分。 $M=A-E=(t-1)N$ で $N\ne O$ より $(2-t)(t-1)=0$ 。従って $\boxed{t=1\text{ または }2}.$

この問題で使う考え方

行列を用いた表現
二項定理

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