3新潟大学 2013年 数学 第3問解答・解説

agraph{(1)} まず，行列の積を成分ごとに計算する。 $$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}a^2+3a&-4a-8\\-\frac{3a^2}{4}-\frac{3a}{2}&3a+4\end{pmatrix}.$$ さらに，必要な対角成分は $$\displaystyle (A^3)_{11}=a(a^2+3a)+(-4a-8)\left(-\frac{3a}{4}\right)=a^3+6a^2+6a,$$ $$\displaystyle (A^3)_{22}=\left(-\frac{3a^2}{4}-\frac{3a}{2}\right)(-4)+(3a+4)2=3a^2+12a+8.$$ 条件 $A^3=-a^2E$ の対角成分を比較すると $$a^3+6a^2+6a=-a^2,\qquad 3a^2+12a+8=-a^2,$$ すなわち $$a(a+1)(a+6)=0,\qquad 4(a+1)(a+2)=0.$$ 両式を満たす共通の値は $a=-1$ だけである。この値を元の行列に代入すると $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&-4\\\frac34&2\end{pmatrix},\qquad A^2=\begin{pmatrix}-2&-4\\\frac34&1\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E=-a^2E,$$ となり，非対角成分も含めて条件を満たす。

agraph{(2)} $A^3=-E$ より $A^4=-A,\ A^5=-A^2,\ A^6=E$。したがって $$A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6 =A+A^2-E-A-A^2+E=O.$$

agraph{(3)} $A^6=E$ なので、6項ごとの和は常に (2) と同じく $O$ である。$2013=6\cdot335+3$ より最初の2010項は相殺し、残りは $$A^{2011}+A^{2012}+A^{2013}=A+A^2+A^3=2A-2E.$$ これを成分で表すと $$\displaystyle \boxed{\begin{pmatrix}-4&-8\\[2pt]\frac32&2\end{pmatrix}}.$$