4新潟大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $c=\vec a\cdot\vec b$ とおく。$|\vec a|=|\vec b|=1$ で、2つのベクトルは平行でないから $$|\vec a-\vec b|^2=2-2c>0,\qquad |\vec a+\vec b|^2=2+2c>0$$ となり、$-1<c<1$ である。$D(t)=|\vec a+t\vec b|^2$ とおけば、内積を展開して $$D(t)=1+2ct+t^2=(t+c)^2+1-c^2>0.$$ また $$(1+t)^2-D(t)=2t(1-c)\geq0$$ である。従って $$\boxed{0<|\vec a+t\vec b|^2\leq(1+t)^2}.$$

(2) $D(t)>0$ で、$\vec b$ は単位ベクトルである。したがって $$\displaystyle f(t)=|\vec p|=\frac{2t^2|\vec b|}{D(t)}=\frac{2t^2}{D(t)}.$$ (1)の $D(t)\leq(1+t)^2$ を使うと $$\displaystyle \boxed{f(t)\geq\frac{2t^2}{(1+t)^2}}.$$ $t=0$ の場合も両辺は0で、この不等式が成立する。

(3) $t_0=c+\sqrt{c^2+1}$ とおく。$\sqrt{c^2+1}>|c|$ より $t_0>0$ である。また、平方して整理すると $$t_0^2-2ct_0-1=0,$$ つまり $1+2ct_0=t_0^2$ である。よって $$D(t_0)=1+2ct_0+t_0^2=2t_0^2$$ となり、 $$\displaystyle \boxed{f(t_0)=\frac{2t_0^2}{D(t_0)}=1}.$$ この $t_0$ は正なので、求める正の実数が存在する。