1北海道大学 2003年 数学 第1問解答・解説

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共通の交点表示 二放物線$A:y=x^2$、$B:y=-(x-a)^2+b$の交点では $$2x^2-2ax+a^2-b=0.$$ 異なる2交点を持つことから$2b-a^2>0$であり、$d=x_1-x_2>0$とおくと $$\displaystyle x_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{2b-a^2}}2,\qquad d=\sqrt{2b-a^2},\qquad x_1+x_2=a.$$ すなわち$x_1=a/2+d/2$、$x_2=a/2-d/2$、$y_i=x_i^2$である。

(1) $x$座標差が2の条件 $d=2$だから$2b-a^2=4$であり、 $$\displaystyle \boxed{b=\frac{a^2}{2}+2}.$$ この$b$なら$2b-a^2=4>0$なので、異なる2交点という元の条件も満たす。

(2) 直線$PQ$の通過領域と図示 $d=2$では$x_1=a/2+1$、$x_2=a/2-1$である。放物線$y=x^2$の二点を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2=a.$$ $x_1x_2=a^2/4-1$だから切片は$-x_1x_2=1-a^2/4$であり、直線族は $$\displaystyle \ell_a:\quad y=ax+1-\frac{a^2}{4}\qquad(a\text{ は実数}).$$ 固定した$x$に対して平方完成すると $$\displaystyle y=1+x^2-\frac{(a-2x)^2}{4}\le x^2+1.$$ 逆に任意の$y\le x^2+1$に対し$1+x^2-y\ge0$なので、 $$a=2x\pm2\sqrt{1+x^2-y}$$ を取ればその点$(x,y)$を通る直線$\ell_a$が存在する。従って通過領域は境界も含む $$\boxed{y\le x^2+1}.$$ 図の淡色部分全体が求める領域で、実線の境界$y=x^2+1$も含む。

(3) $|\overrightarrow{PQ}|=2$での中点の高さ この設問は$d=2$ではなく、線分の長さを2とする。$y_1-y_2=x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)=ad$より $$|\overrightarrow{PQ}|^2=d^2+(ad)^2=d^2(1+a^2)=4.$$ 従って$d=2/\sqrt{1+a^2}>0$であり、$b=(a^2+d^2)/2=a^2/2+2/(1+a^2)$を選べば常に実現する。中点の$y$座標を$Y$とすると $$\displaystyle Y=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} =\frac{a^2}{4}+\frac{d^2}{4} =\frac{a^2}{4}+\frac1{1+a^2}.$$ $z=1+a^2\ge1$とおき、正数の相加相乗平均を用いると $$\displaystyle Y=\frac z4+\frac1z-\frac14 \ge2\sqrt{\frac z4\frac1z}-\frac14 =\frac34.$$ 等号条件は$z/4=1/z$、すなわち$z=2$、$a=\pm1$である。そのとき$b=3/2$、$d=\sqrt2>0$で2交点を保つ。よって $$\displaystyle \boxed{\text{中点の}y\text{座標の最小値}=\frac34}$$ を実際に達成する。

単元・方法・テーマ・使用範囲 単元：(1)は数学I「二次関数・二次方程式」、(2)は数学II「図形と方程式・軌跡と領域」、(3)は数学II「座標と距離」および数学I「相加相乗平均」である。

方法：二放物線の交点の解と判別式、弦の傾き、媒介変数の平方完成、通過領域の必要十分性、距離公式と中点公式、相加相乗平均の等号条件を用いる。

テーマ：交点条件が変化する放物線の弦、直線族の包絡境界、弦長固定時の中点の最適化。使用する公式と論証は高校数学I・IIに限り、大学数学の定理を用いない。