1高知大学 2016年 数学 第1問解答・解説

{ (1)}　 $a=1$ のとき $$f(x)=x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-3,\qquad g(x)=|x|-1$$ である。

$y=f(x)$ は下に凸の放物線で、頂点は $(2,-3)$、軸は直線 $x=2$、$y$切片は $f(0)=1$ より $(0,1)$ である。$x$軸との交点は $f(x)=0$ すなわち $(x-2)^{2}=3$ より $$x=2\pm\sqrt3\quad(2-\sqrt3\risingdotseq0.27,\ 2+\sqrt3\risingdotseq3.73)$$ である。

$y=g(x)=|x|-1$ は、$x\ge0$ で $y=x-1$、$x\le0$ で $y=-x-1$ となる折れ線（V字形）で、頂点（折れ目）は $(0,-1)$、$x$軸との交点は $x=\pm1$ である。

両者の交点は、$f(x)=g(x)$ を場合分けして解くと、$x\ge0$ では $$\displaystyle x^{2}-4x+1=x-1\ \quad\text{すなわち}\quad\ x^{2}-5x+2=0\ \quad\text{すなわち}\quad\ x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$$ でともに $x\ge0$ を満たすので適し、$x<0$ では $$x^{2}-4x+1=-x-1\ \quad\text{すなわち}\quad\ x^{2}-3x+2=0\ \quad\text{すなわち}\quad\ x=1,2$$ でいずれも $x<0$ を満たさず不適である。よって二つのグラフは $\displaystyle x=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\ (\risingdotseq0.44),\ \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\ (\risingdotseq4.56)$ の2点で交わる。

以上の頂点・軸・$x$切片・$y$切片・交点を目安に、同一の座標平面上に下に凸の放物線 $y=f(x)$ とV字形の折れ線 $y=g(x)$ を描けばよい。

{ (2)}　 $f(x)=x^{2}-4ax+1$ を平方完成すると $$f(x)=(x-2a)^{2}+1-4a^{2}$$ であり、$f$ は下に凸で頂点は $x=2a$、頂点での値は $1-4a^{2}$ である。「$-4<x<4$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x)>0$」となる条件を、頂点 $x=2a$ が$-4<x<4$ の範囲に入るかどうかで場合分けして調べる。

(i) $-2<a<2$（頂点の $x$ 座標が $-4<2a<4$ を満たすとき）：区間内で $f$ の最小値は頂点での値 $f(2a)=1-4a^{2}$ であり、これが実際に区間内で達成される。よって条件は $$\displaystyle 1-4a^{2}>0\ \quad\text{すなわち}\quad\ -\frac12<a<\frac12$$ であり、これは $-2<a<2$ を満たすので、この場合の条件は $\displaystyle -\dfrac12<a<\dfrac12$ である。

(ii) $a\le-2$（頂点 $2a\le-4$ が区間の左外またはその境界にあるとき）：このとき $f$ は $x>2a$ で単調増加であるから、$-4<x<4$ の範囲でも単調増加であり、$x\to-4+0$ のとき $f(x)\to f(-4)=17+16a$ に近づくが、この値自体は（$x=-4$ が区間に含まれないため）達成されない。区間内のすべての $x$ で $f(x)>0$ となるためには、この極限値が $0$ 以上であればよいから $$\displaystyle 17+16a\ge0\ \quad\text{すなわち}\quad\ a\ge-\frac{17}{16}$$ が必要十分であるが、これは $a\le-2$ と両立しない（$\displaystyle -\tfrac{17}{16}>-2$）。よってこの場合に条件を満たす $a$ は存在しない。

(iii) $a\ge2$（頂点 $2a\ge4$ が区間の右外またはその境界にあるとき）：このとき $f$ は $x<2a$ で単調減少であるから、$-4<x<4$ の範囲でも単調減少であり、$x\to4-0$ のとき $f(x)\to f(4)=17-16a$ に近づく（この値自体は達成されない）。よって条件は $$\displaystyle 17-16a\ge0\ \quad\text{すなわち}\quad\ a\le\frac{17}{16}$$ であるが、これは $a\ge2$ と両立しない。よってこの場合も条件を満たす $a$ は存在しない。

以上(i)(ii)(iii)をあわせて、求める $a$ の範囲は $$\displaystyle -\frac12<a<\frac12$$ である。

（検算）$a=0.4$ のとき頂点の $x$ 座標は $0.8$ で、$-4<0.8<4$ を満たし、 $f(0.8)=1-4(0.4)^{2}=0.36>0$ となり適する。境界 $\displaystyle a=\tfrac12$ では $f(x)=(x-1)^{2}$ となり、$x=1$ は $-4<x<4$ を満たすが、 $f(1)=0$ となって不適であり、開区間で正しく除外される。）

{ (3)}　 $g(x)=|x|-a\le0$ となるのは $|x|\le a$ のときであり、これは $a<0$ のときは解なし（$g(x)>0$ が常に成り立つ）、$a\ge0$ のときは $-a\le x\le a$ である。

条件「$-4<x<4$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x)>0$ または $g(x)>0$」は、対偶をとると「$-4<x<4$ かつ $f(x)\le0$ かつ $g(x)\le0$ となる $x$ が存在しない」ことと同値である。

(I) $a<0$ のとき：$g(x)=|x|-a=|x|+|a|\ge|a|>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つので、$g(x)\le0$ となる $x$ はそもそも存在しない。よって条件は自動的に成り立つ。したがって $a<0$ はすべて条件を満たす。

(II) $a\ge0$ のとき：$g(x)\le0\quad\text{すなわち}\quad-a\le x\le a$ であるから、条件は「$-4<x<4$ かつ $-a\le x\le a$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x)>0$」と言い換えられる。

(II-i) $a\ge4$ のとき：$-a\le-4<4\le a$ より $-4<x<4$ なら $-a\le x\le a$ であるから、上の条件は $-4<x<4$ の範囲内のすべての $x$ で $f(x)>0$ となることと同じであり、これは(2)で調べた条件そのものなので $\displaystyle -\dfrac12<a<\dfrac12$ が必要となるが、これは $a\ge4$ と両立しない。よってこの場合は条件を満たす $a$ は存在しない。

(II-ii) $0\le a<4$ のとき：$-4<-a\le a<4$ であるから、二つの範囲の共通部分は $-a\le x\le a$ となり、条件は「$-a\le x\le a$ の範囲のすべての $x$ に対して $f(x)>0$」と同値である。

$f$ の頂点は $x=2a$ であり、$a\ge0$ より $2a\ge a$（等号は $a=0$ のときのみ）が成り立つので、頂点は$-a\le x\le a$ の範囲の右端 $x=a$ 以上の位置にある。よって $f$ は$-a\le x\le a$ の範囲で単調減少（$a=0$ の場合は区間が1点 $\{0\}$ に退化）であり、区間内での最小値は右端の値 $$f(a)=a^{2}-4a\cdot a+1=1-3a^{2}$$ である（$a=0$ のときも $f(0)=1=1-3\cdot0^{2}$ で一致する）。したがって条件は $$\displaystyle 1-3a^{2}>0\ \quad\text{すなわち}\quad\ a^{2}<\frac13\ \quad\text{すなわち}\quad\ -\frac{1}{\sqrt3}<a<\frac{1}{\sqrt3}$$ であり、これと $0\le a<4$ をあわせて $$\displaystyle 0\le a<\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$ を得る。

以上(I)(II-i)(II-ii)をあわせると、求める $a$ の範囲は $$\displaystyle a<0\quad\text{または}\quad0\le a<\frac{\sqrt3}{3}$$ すなわち $$\displaystyle a<\frac{\sqrt3}{3}$$ である。

（検算）境界 $\displaystyle a=\dfrac{\sqrt3}{3}$ では、$x=a$ において $g(a)=a-a=0$（$>0$ でない）かつ $\displaystyle f(a)=1-3a^{2}=1-3\cdot\tfrac13=0$（$>0$ でない）となり、$x=a$ は $-4<x<4$ を満たすが、どちらの不等式も成り立たないので条件が破れる。よって境界は正しく除外される。また $\displaystyle a=0.5<\tfrac{\sqrt3}{3}\risingdotseq0.577$ では $f(0.5)=1-3(0.25)=0.25>0$ で適し、$\displaystyle a=0.6>\tfrac{\sqrt3}{3}$ では $f(0.6)=1-3(0.36)=-0.08<0$ かつ $g(0.6)=0$ で不適となり、判定の境目が一致することを確認できる。）