2高知大学 2016年 数学 第2問解答・解説

以下、$g(x)=5\sin(kx)-6\cos(x^2)+7$ とおく。$-1\le\sin(kx),\cos(x^2)\le1$ より $$-4\le g(x)\le18.$$ したがって $|g(x)|\le18$ であり、(1) が成り立つ。

また、$g(x)\ge-4>-18$ なので、$|g(x)|=18$ となるのは $g(x)=18$ の場合に限る。各項の上限から $$|g(x)|=18\text{ であるための必要十分条件は }\sin(kx)=1\quad\text{かつ}\quad \cos(x^2)=-1\text{ であること}.$$ 三角関数の一般角表示を使うと、これはある0以上の整数 $m$、整数 $n$、$\varepsilon=1$ または $-1$ に対し $$\displaystyle x=\varepsilon\sqrt{(2m+1)\pi},\qquad kx=\frac{(4n+1)\pi}{2} \tag{*}$$ となることと同値である。

(2) $k=\sqrt{\pi}/2$ のとき $x=\sqrt{\pi}$ とすれば、$x^2=\pi$、$kx=\pi/2$ だから $\cos(x^2)=-1$、$\sin(kx)=1$。よって $|g(x)|=18$ となる。

(3) $k=\sqrt{\pi}/4$ とする。もし $|g(x)|=18$ なら、(*)から $$x=2(4n+1)\sqrt{\pi},\qquad x^2=(2m+1)\pi,$$ したがって $4(4n+1)^2=2m+1$ となる。左辺は偶数、右辺は奇数なので不可能であり、そのような $x$ はない。

(4) $k=0$ では $\sin(kx)=0$ となるため等号は成立しない。$k\ne0$ とすると、(*)を連立して $$\displaystyle k^2=\frac{(4n+1)^2}{4(2m+1)}\,\pi.$$ ここで $|4n+1|$ と $2m+1$ は、それぞれ独立に正の奇数全体を動く。よって必要条件は、正の奇数 $p,q$ を用いた $$\displaystyle k=\pm\frac{p\sqrt{\pi}}{2\sqrt q}$$ である。

逆に、正の奇数 $p,q$ とこの形の $k$ をとる。符号 $\sigma=1$ または $-1$ を $\sigma p\equiv1\pmod4$ となるように選び、$4n+1=\sigma p$、$m=(q-1)/2$ とする。$$\displaystyle k=\frac{\delta p\sqrt\pi}{2\sqrt q}\quad(\delta=\pm1),\qquad x=\delta\sigma\sqrt{q\pi}$$とすれば (*) を満たす。したがってこの $k$ では実際に $|g(x)|=18$ となる。求める値は $$\displaystyle \boxed{k=\pm\frac{p\sqrt{\pi}}{2\sqrt q}\quad(p,q\text{ は正の奇数})}.$$