3日本大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1)　 OS=6$\sqrt2$ である。三角不等式から $$P_1P_2\geq OS-SP_2-OP_1=6\sqrt2-3-1=6\sqrt2-4$$ となる。等号は、$\overrightarrow{OP_1}$ が $\overrightarrow{OS}$ と同じ向きで、$\overrightarrow{SP_2}$ が逆向きのときに成立する。このときそれぞれの偏角は $-\pi/4$、$3\pi/4$ だから、 $$\displaystyle P_1=\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right),\qquad \overline{P_1P_2}=6\sqrt2-4.$$

(2)　 (1)の最短状態では、$P_1$ の偏角が $-\pi/4\pmod{2\pi}$ である。角速度より $\pi t/2=-\pi/4+2k\pi$、すなわち $t=-1/2+4k$（整数 $k$）となる。また、$P_2$ の偏角は $-7\pi t/10$ なので、$-7\pi t/10=3\pi/4+2n\pi$（整数 $n$）が同時に必要である。前式を代入すると $$7-56k=15+40n,\qquad 7k+1\equiv0\pmod5.$$ よって $k\equiv2\pmod5$ であり、$t\geq0$ で最小のものは $k=2$。したがって初めて最短状態となるのは $t=15/2$ 秒後である。

(3)　 共通接線を $y=mx+b$、$q=\sqrt{1+m^2}$ とおくと、円 $C_1$ への接線条件から $b=\pm q$、円 $C_2$ への接線条件から $|6(m+1)+b|=3q$ である。符号を場合分けし、平方後に元の符号条件も確かめると、候補は $$\displaystyle (b,m)=\left(q,\frac{-9+\sqrt{17}}8\right),\ \left(q,\frac{-9-2\sqrt{14}}5\right),\ \left(-q,\frac{-9+2\sqrt{14}}5\right),\ \left(-q,\frac{-9-\sqrt{17}}8\right)$$ となる。第1象限を通り、かつ傾きが $-1$ より大きいのは $$\displaystyle m=\frac{-9+\sqrt{17}}8,\qquad b=q=3(m+1)=\frac{3(\sqrt{17}-1)}8$$ である。従って、$\tan\theta$ は $\overrightarrow{SO}=(-6,6)$ と $\overrightarrow{ST}$ のなす角の正接である。直線の単位法線を $\boldsymbol n=(-m,1)/q$ とすると $\overrightarrow{ST}=3\boldsymbol n$ であり、内積は正だから $$\displaystyle \tan\theta=\frac{|(-1,1)\mathbin{\times}(-m,1)|}{(-1,1)\mathbin{\cdot}(-m,1)}=\frac{1-m}{1+m}=\sqrt{17}.$$ また $y=-x$ との交点は、$-x=mx+b$ より $x=-b/(m+1)=-3$、$y=3$ である。