1秋田大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(i) $A,B$ の中点を $\displaystyle M=(\frac72,\frac12)$ とすると、$AB$ の傾きは $3$ だから、垂直二等分線は $$\displaystyle y-\frac12=-\frac{x-\frac72}{3}, \qquad\text{すなわち}\qquad x+3y=5.$$ これと $\ell:x-2y+5=0$ を連立して $Q=(-1,2)$ を得る。

(ii) 円の中心 $O$ は垂直二等分線上にあるので、$\displaystyle O=(\frac72-3s,\frac12+s)$ とおく。このとき $\displaystyle OA^2=\frac52+10s^2$、また $O$ から $\ell$ までの距離の2乗は $$\displaystyle \operatorname{dist}(O,\ell)^2=\frac{(15/2-5s)^2}{5}=5\left(\frac32-s\right)^2.$$ 接する条件 $OA=\operatorname{dist}(O,\ell)$ より $$\displaystyle \frac52+10s^2=5\left(\frac32-s\right)^2.$$ したがって $$4s^2+12s-7=0.$$ よって $\displaystyle s=\frac12,-\frac72$。各中心は $(2,1),(14,-3)$、半径の2乗はそれぞれ $5,125$ なので、円の方程式は $$(x-2)^2+(y-1)^2=5.$$ と $$(x-14)^2+(y+3)^2=125.$$

(iii) $P=(2t-5,t)$ とおき、 $$\mathbf u=\overrightarrow{PA}=(9-2t,2-t),\qquad \mathbf v=\overrightarrow{PB}=(8-2t,-1-t).$$ とする。内積 $$\displaystyle \mathbf u\cdot\mathbf v=5(t^2-7t+14) =5\left(\left(t-\frac72\right)^2+\frac74\right)>0$$ なので、角 $\theta=\angle APB$ は鋭角である。2つのベクトルの成分を計算すると $$|u_xv_y-u_yv_x|=5|t-5|.$$ だから $$\displaystyle \tan\theta=\frac{|t-5|}{t^2-7t+14}.$$ $t\le5$ のとき $$(t^2-7t+14)-|t-5|=(t-3)^2\ge0;$$ $t\ge5$ のとき同じ差は $$(t^2-7t+14)-|t-5|=(t-4)^2+3>0.$$ したがって $\tan\theta\le1$。等号は $t=3$ で成立し、このとき $P=(1,3)$。ゆえに最大角は $\displaystyle \arctan1=45^\circ=\frac{\pi}{4}$。