6筑波大学 2008年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{(1) }y=x^2\text{ の }(u,u^2)\text{ における接線は、傾き }2u\text{ より }y-u^2=2u(x-u),\\ &\text{すなわち }y=2ux-u^2\text{ である。}P,Q\text{ の接線の交点 }R(X,Y)\text{ は} 2tX-t^2=2sX-s^2\text{ を満たす。}\\ &2(t-s)X=(t-s)(t+s),\quad s<t\text{ より }X=\frac{t+s}{2},\qquad Y=2tX-t^2=ts.\\[2mm] &\text{(2) }d=t-s>0\text{ とおくと、}(1)\text{ から} \overrightarrow{RP}=d\left(\frac12,t\right),\qquad \overrightarrow{RQ}=d\left(-\frac12,-s\right).\\ &\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=d^2\left(-\frac14-ts\right),\qquad |RP||RQ|=d^2\sqrt{\left(t^2+\frac14\right)\left(s^2+\frac14\right)}.\\ &\angle PRQ=\frac\pi4\text{ なので内積は正、すなわち }Y=ts< -\frac14\text{ であり、} \frac{-Y-\frac14}{\sqrt{(t^2+\frac14)(s^2+\frac14)}}=\frac1{\sqrt2}.\\ &\text{両辺を2乗し、}(t+s)^2=4X^2,\quad t^2+s^2=4X^2-2Y\text{ を用いると、}\\ &2\left(Y+\frac14\right)^2 =\left(t^2+\frac14\right)\left(s^2+\frac14\right) =Y^2+X^2-\frac{Y}{2}+\frac1{16},\\ &\text{したがって }X^2=Y^2+\frac32Y+\frac1{16},\quad \left(Y+\frac34\right)^2-X^2=\frac12.\\ &\text{さらに }Y< -\frac14\text{ とこの式から、軌跡は下側枝 } Y\leq-\frac34-\frac1{\sqrt2}\text{ に限られる。}\\ &\text{逆にこの下側枝上の }(X,Y)\text{ に対し }d=-2Y-\frac12>0,\quad t=X+\frac d2,\quad s=X-\frac d2\text{ とおく。}\\ &\left(Y+\frac34\right)^2-X^2=\frac12\text{ より } d^2=4X^2-4Y=(2Y+\tfrac12)^2,\quad ts=X^2-\frac{d^2}{4}=Y,\\ &\text{ゆえに }s<t,\quad \frac{t+s}{2}=X\text{ で、この }P,Q\text{ から得る交点は }(X,Y)\text{ である。}\\ &\text{また内積は正で、その余弦の二乗は }\frac12\text{ だから }\angle PRQ=\frac\pi4.\\ &\text{よってこの下側枝全体が求める軌跡である。} \end{aligned}$$