3筑波大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 被積分関数の差をまとめると $$\displaystyle f(t)-g(t)=\int_1^e\frac{(t^2-x^2)\log x}{t-x}\,dx =\int_1^e(t+x)\log x\,dx.$$ ここで $$\displaystyle \int_1^e\log x\,dx=1,\qquad \int_1^e x\log x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2+1}{4}.$$ したがって $$\displaystyle f(t)-g(t)=t+\frac{e^2+1}{4}.$$

(2) $1\le x\le e$ では $x^2\log x\ge0$ であり、与えられた不等式から $$\displaystyle 0\le g(t)\le\frac1{t-e}\int_1^e x^2\log x\,dx.$$ 部分積分により $$\displaystyle \int_1^e x^2\log x\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}\right]_1^e=\frac{2e^3+1}{9}.$$ よって $$\displaystyle 0\le g(t)\le\frac{2e^3+1}{9(t-e)}\longrightarrow0,$$ はさみうちの原理により $\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}g(t)=0$。

(3) $C=(e^2+1)/4$ とおくと (1) より $f(t)=g(t)+t+C$。また $$\displaystyle \frac{bt^2}{t-a}=b\left(t+a+\frac{a^2}{t-a}\right)$$ だから $$\displaystyle f(t)-\frac{bt^2}{t-a} =g(t)+(1-b)t+(C-ab)-\frac{ba^2}{t-a}.$$ (2) と $1/(t-a)\to0$ より、極限が0となるには $1-b=0$ および $C-ab=0$ が必要である。したがって $b=1$、$a=C$。このとき残る差は $g(t)-a^2/(t-a)\to0$ となり、実際に条件を満たす。よって $$\displaystyle a=\frac{e^2+1}{4},\qquad b=1.$$