1名古屋大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 分子をまとめると $$\displaystyle I_n+I_{n+2} =\int_0^1\frac{x^n+x^{n+2}}{1+x^2}\,dx =\int_0^1x^n\,dx =\frac1{n+1}.$$

(2) $0\le x\le1$ では $0\le x^{n+1}\le x^n$ かつ $0<1/(1+x^2)\le1$。これらを積分すると $$\displaystyle 0\le I_{n+1}\le I_n\le\int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}.$$

(3) $0<a<1$ を固定する。$a\le x\le1$ では $1/2\le1/(1+x^2)\le1/(1+a^2)$ なので $$\displaystyle \frac n2\int_a^1x^n\,dx \le nI_n \le n\int_0^a x^n\,dx+\frac n{1+a^2}\int_a^1x^n\,dx.$$ $\displaystyle n\int_0^a x^n\,dx=\frac n{n+1}a^{n+1}\to0$、また $$\displaystyle \frac n2\int_a^1x^n\,dx\to\frac12,\qquad \frac n{1+a^2}\int_a^1x^n\,dx\to\frac1{1+a^2}.$$ 従って $\displaystyle \liminf nI_n\ge1/2$、$\displaystyle \limsup nI_n\le1/(1+a^2)$。最後に $a\to1-$ とすれば両者が $1/2$ となり、$nI_n\to1/2$。

(4) (1)で $n=2k-1$ とすると $I_{2k-1}+I_{2k+1}=1/(2k)$。従って $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k-1}(I_{2k-1}+I_{2k+1}) =I_1+(-1)^{n-1}I_{2n+1}.$$ (2)より $0\le I_{2n+1}\le1/(2n+2)\to0$。よって $S_n\to I_1$。最後に $$\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx =\frac12\log(1+x^2)\Big|_0^1 =\frac{\log2}{2}.$$