4東北大学 2015年 数学 第4問解答・解説

三角形の底辺の長さは $\pi$、高さは $\displaystyle \{(2n+\frac12)\pi\}^{-a}$ なので $$\displaystyle A_n=\frac{\pi}{2\{(2n+\frac12)\pi\}^{a}}.$$ $a>0$ より $x\mapsto x^a=\exp(a\log x)$ は $x>0$ で増加する。また $2n\pi\le x\le(2n+1)\pi$ では $\sin x\geq0$ である。したがって $$\displaystyle \frac{\sin x}{\{(2n+1)\pi\}^{a}}\leq\frac{\sin x}{x^a}\leq\frac{\sin x}{(2n\pi)^{a}}.$$ この区間で $\displaystyle \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin x\,dx=2$ だから、積分して $$\displaystyle \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^{a}}\leq B_n\leq\frac{2}{(2n\pi)^{a}}.$$ これで (1) が示された。

(2) $B_n>0$ である。上の上下界と $A_n$ の式から $$\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^{a} \leq\frac{A_n}{B_n}\leq \frac{\pi}{4}\left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^{a}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $\pi/4$ に収束するため、はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi}{4}.$$

(3) 倍角公式から $$\displaystyle \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin^2x\,dx =\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\frac{1-\cos2x}{2}\,dx=\frac{\pi}{2}.$$ $\sin^2x\geq0$ なので同様の比較により $$\displaystyle \frac{\pi}{2\{(2n+1)\pi\}^{a}}\leq C_n\leq\frac{\pi}{2(2n\pi)^{a}}.$$ 従って $$\displaystyle \left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a \leq\frac{A_n}{C_n}\leq \left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $1$ に収束するので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{A_n}{C_n}=1.$$

三角形の底辺の長さは $\pi$、高さは $\displaystyle ((2n+\frac12)\pi)^{-a}$ だから $$\displaystyle A_n=\frac{\pi}{2((2n+\frac12)\pi)^a}.$$ $2n\pi\le x\le(2n+1)\pi$ の範囲では $a>0$ より $x^a$ は増加し、$\sin x\ge0$ である。したがって $$\displaystyle ((2n+1)\pi)^{-a}\sin x\le\frac{\sin x}{x^a}\le(2n\pi)^{-a}\sin x.$$ この区間で $\sin x$ の積分は $2$ なので、両辺を積分して問(1)の評価を得る。

(2) $B_n>0$ である。問(1)の上界・下界を使うと $$\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a\le\frac{A_n}{B_n}\le\frac{\pi}{4}\left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a.$$ 両端は $n\to\infty$ で $\pi/4$ に収束するため、はさみうちにより極限は $\pi/4$。

(3) $\sin^2x\ge0$ かつ $$\displaystyle \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{2}$$ だから $$\displaystyle \frac{\pi}{2((2n+1)\pi)^a}\le C_n\le\frac{\pi}{2(2n\pi)^a}.$$ 同様に両端を $A_n$ で割る向きを考えると $$\displaystyle \left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a\le\frac{A_n}{C_n}\le\left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a.$$ 両端は $1$ に収束するので、極限は $1$。