1東北大学 2015年 数学 第1問解答・解説

$P=(x_0,y_0)$ とおくと、$x_0>0,y_0>0$ かつ $x_0^2+4y_0^2=1$ である。曲線上で $y$ を $x$ の関数とみて微分すると $$\displaystyle 2x+8y\frac{dy}{dx}=0,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}.$$ したがって、$P$ における接線 $l$ の傾きは $-x_0/(4y_0)$ であり、これに垂直な直線 $m$ の傾きは $4y_0/x_0$ である。よって $$\displaystyle m:\quad y-y_0=\frac{4y_0}{x_0}(x-x_0).$$ $m$ の $x$ 軸との交点では $y=0$ なので $x=3x_0/4$、$y$ 軸との交点では $x=0$ なので $y=-3y_0$ となる。したがって、軸と $m$ が囲む三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12\cdot\frac{3x_0}{4}\cdot3y_0=\frac98x_0y_0.$$ 一方、$(x_0-2y_0)^2\geq0$ より $$\displaystyle 4x_0y_0\leq x_0^2+4y_0^2=1,\qquad S\leq\frac{9}{32}.$$ 等号は $x_0=2y_0$ のときに成り立つ。この条件と $x_0^2+4y_0^2=1$ から、$x_0=1/\sqrt2$、$y_0=1/(2\sqrt2)$ を得る。したがって、面積の最大値は $9/32$ であり、そのとき $$\displaystyle P=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{2\sqrt2}\right).$$