6東北大学 2015年 数学 第6問解答・解説

PDF p6上部に医学科を含む対象を明記、同頁印刷問6の自然数は1以上、k≧2と全条件を確認。

k 個の連続する自然数の和は $$\displaystyle n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) =km+\frac{k(k-1)}2$$ である。したがって $$\displaystyle m=\frac nk-\frac{k-1}{2} =\frac nk-\frac k2+\frac12.$$ n が k-連続和なら m は自然数なので (A) が成り立ち、また $$2n=2km+k(k-1)=k^2+k(2m-1)>k^2$$ より (B) も成り立つ。

逆に (A) が成り立つとし、上式で定めた m は整数である。(B) より $$\displaystyle \frac nk>\frac k2 \quad\text{より}\quad m=\frac nk-\frac{k-1}{2}>\frac12.$$ m は整数なので $m\ge1$。よって $$\displaystyle n=km+\frac{k(k-1)}2=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1)$$ となり、n は k-連続和である。

(2) $n=2^f$ が k-連続和だと仮定し、始めの自然数を $m\ge1$ とする。和の式を 2 倍すると $$2^{f+1}=k(2m+k-1).$$ 右辺の二因子は正の整数で、積が 2 のべきだから各因子も 2 のべきである。k が奇数なら k=1 となり $k\ge2$ に反する。k が偶数なら 2m+k-1 は 1 より大きい奇数であるが、2 のべきである奇数は 1 しかない。これも矛盾する。したがって該当する k は存在しない。

(3) (A) が成り立つなら $$\displaystyle \frac{2n}{k}=2\left(\frac nk-\frac{k-1}{2}\right)+(k-1)$$ は整数だから $k\mid 2p^f$。p は奇素数なので、この約数は $k=p^j$ または $k=2p^j$$\ (0\le j\le f)$ に限られる。逆に、$k=p^j$ なら $n/k=p^{f-j}$ と $(k-1)/2$ はともに整数であり、$k=2p^j$ なら $n/k=p^{f-j}/2$ と $(k-1)/2$ はともに半整数である。したがってこの約数の形の k はすべて (A) を満たす。$k\ge2$ より候補は $$p^j\ (1\le j\le f),\qquad 2p^j\ (0\le j\le f).$$

条件 (B) を課す。奇数候補 $k=p^j$ では $$p^{2j}<2p^f$$ であり、$p\ge3$ よりこれは $2j\le f$ と同値である。したがって該当する指数は $1\le j\le\lfloor f/2\rfloor$ で、個数は $\lfloor f/2\rfloor$。偶数候補 $k=2p^j$ では $$4p^{2j}<2p^f\quad\text{すなわち}\quad 2p^{2j}<p^f$$ であり、これは $2j<f$ と同値である。指数 $0\le j<f/2$ の個数は $\lceil f/2\rceil$。以上より総数は $$\displaystyle \left\lfloor\frac f2\right\rfloor+ \left\lceil\frac f2\right\rceil=f.$$