秋田大学 2015年数学第5問解答・解説

いろいろな式数学と人間の活動（整数）

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1問題

秋田大学2015年度第5問

次の問いに答えよ。

(i) $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc$ を因数分解せよ。

(ii) 整数 $a, b, c$ に対して, $a + b + c$ と $abc$ が3の倍数のとき, $a^3 + b^3 + c^3$ は9の倍数であることを示せ。

(iii) 実数 $a, b, c$ が $a + b + c = 6$ , $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$ を満たすとき, $a^3 + b^3 + c^3 + 3abc$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

立方和と基本対称式の恒等式を用いる。整数の倍数条件では、因数分解後の第二因子を p^2-3q と表し、各項の9の倍数性を示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(i)\quad a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$
$(ii)\quad 9\mid a^3+b^3+c^3.$
$(iii)\quad a^3+b^3+c^3+3abc=216.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) 展開すると $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$ となる。さらに $\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$ である。

(ii) $p=a+b+c,\ q=ab+bc+ca,\ r=abc$ と置く。恒等式 $a^3+b^3+c^3=3r+p(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),\qquad a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=p^2-3q$ を用いる。仮定から $3\mid p$ なので $3\mid p^2-3q$ 。また $3\mid r$ より $9\mid3r$ 。したがって右辺の二項 $3r$ と $p(p^2-3q)$ はともに9の倍数であり、 $9\mid a^3+b^3+c^3$ 。

(iii) $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$ と置く。逆数条件より $q/r=1/3$ 、すなわち $r=3q$ （逆数があるので $r\ne0$ ）。また $a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$ だから、 $a^3+b^3+c^3+3abc=p^3-3pq+6r=6^3-18(r/3)+6r=216.$

この問題で使う考え方

三次の乗法・因数分解公式
約数・倍数

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