6秋田大学 2015年 数学 第6問解答・解説

$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=0$ であり、$|\vec a|^2=1,\ |\vec b|^2=|\vec c|^2=2$ である。また $AB=BC$ より $$3=|\vec a-\vec b|^2=|\vec b-\vec c|^2=4-4\cos\theta,$$ したがって $\displaystyle \cos\theta=\frac14$。

(i) $D$ は $BC$ の中点なので $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac12(\vec b+\vec c)$。内分比から $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AD}$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\vec a+\frac{t}{2}(\vec b+\vec c).$$

(ii) $\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=0$ かつ $|\vec b+\vec c|^2=4+4\cos\theta$ なので、 $$\displaystyle |\overrightarrow{OP}|^2=(1-t)^2+t^2(1+\cos\theta) =(2+\cos\theta)\left(t-\frac{1}{2+\cos\theta}\right)^2+\frac{1+\cos\theta}{2+\cos\theta}.$$ 従って最小時は $\displaystyle t=\frac{1}{2+\cos\theta}=\frac49$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1+\cos\theta}{2+\cos\theta}\vec a+\frac{1}{2(2+\cos\theta)}(\vec b+\vec c) =\frac59\vec a+\frac29(\vec b+\vec c).$$

(iii) 体積が等しく、かつ線分 $OQ$ が平面 $ABC$ と交わらないので、$O,Q$ は平面 $ABC$ の同じ側にあり、その平面からの符号付き距離は等しい。よって $\overrightarrow{OQ}$ は平面 $ABC$ に平行である。$\vec q=\overrightarrow{OQ}=\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c$ とおけば、平行条件から $\alpha+\beta+\gamma=0$。また $QA=QB=QC$ より $$\displaystyle \vec q\cdot(\vec b-\vec a)=\frac{|\vec b|^2-|\vec a|^2}{2}=\frac12, \qquad \vec q\cdot(\vec c-\vec a)=\frac{|\vec c|^2-|\vec a|^2}{2}=\frac12.$$ 内積条件と $\alpha=-\beta-\gamma$ を用いて両式を引くと $2(1-\cos\theta)(\beta-\gamma)=0$。ここで $\displaystyle \cos\theta=\frac14$ だから $\beta=\gamma$。これを上の内積式に代入して $\displaystyle \beta=\gamma=\frac{1}{8+4\cos\theta}$、$\alpha=-2\beta$ を得る。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{4(2+\cos\theta)}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{9}.$$