2島根大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$と、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$より $$\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}.$$ (2) $A\ne B$なので $$D=a^2+b^2-2c=|\overrightarrow{AB}|^2>0.$$ (3) (1)の両辺の大きさの2乗をとり、平方完成すると $$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{OP}|^2 &=(1-s)^2a^2+2s(1-s)c+s^2b^2\\ &=D\left(s-\frac{a^2-c}{D}\right)^2+\frac{a^2b^2-c^2}{D}. \end{aligned}$$ ここで$\phi=\angle AOB$とすると、非共線性から$0<\phi<\pi$であり、$c=ab\cos\phi<ab\le a^2$。したがって$s=(a^2-c)/D$は正で、許された範囲内にある。このとき平方項は0となるので、最小値は確かに存在し、 $$\displaystyle \boxed{\min\limits _{s>0}|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{\frac{a^2b^2-c^2}{a^2+b^2-2c}}}$$ である。分子は$a^2b^2\sin^2\phi>0$であることも確認できる。