1宮崎大学 2021年 数学 第1問解答・解説

大問1（訂正版） $\overrightarrow{OA}=(1,1,0)$、$\overrightarrow{OD}=(p,q,1)$ であるから $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=p+q,\quad |OA|=\sqrt2,\quad |OD|=\sqrt{p^2+q^2+1}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\cos\theta=\frac{p+q}{\sqrt{2(p^2+q^2+1)}}}.$$ また、内積と $\cos\theta$ の関係から $$\displaystyle \sin^2\theta=1-\cos^2\theta =\frac{2(p^2+q^2+1)-(p+q)^2}{2(p^2+q^2+1)}.$$ 三角形の面積 $S$ は $\displaystyle \frac12|OA||OD|\sin\theta$ なので、内積・正弦の関係 $$\displaystyle S^2=\frac{|OA|^2|OD|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD})^2}{4} =\frac{2(p^2+q^2+1)-(p+q)^2}{4} =\frac{2+(p-q)^2}{4}$$ を得る。よって $$\displaystyle \boxed{S=\frac12\sqrt{2+(p-q)^2}}.$$

平面 $\alpha$ の方程式を $ux+vy+wz=d$ とおく。点 $B(0,2,0)$、$C(0,0,6)$、$A(1,1,0)$ を代入すると $2v=d$、$6w=d$、$u+v=d$ だから、係数比は $u:v:w=3:3:1$、$d=6$ となる。 従って $\alpha:3x+3y+z=6$。点 $D(p,q,1)$ が平面 $\alpha$ 上にあることより $$\displaystyle p+q=\frac53.$$ (2) の式で $S$ は $p-q=0$ のとき最小となる。これと $p+q=5/3$ から $p=q=5/6$ を得て、 $$\displaystyle \boxed{S_{\min}=\frac{\sqrt2}{2}}.$$