10東邦大学 2021年 数学 第10問解答・解説

$A=|\vec a|^2$、$B=|\vec b|^2$、$C=\vec a\cdot\vec b$ とおく。与えられた2つの長さの条件を2乗すると $$A+B-2C=2,\qquad A+4B+4C=5.$$ 差をとって $B+2C=1$ であり、第一式から $A=1+4C$、$B=1-2C$ を得る。

$B>0$ なので $$\displaystyle g(t)^2=|\vec a-t\vec b|^2=A-2Ct+Bt^2 =B\left(t-\frac CB\right)^2+A-\frac{C^2}{B}.$$ $g(t)$ の最小値が1だから、平方の係数部分の最小値は $A-C^2/B=1$ である。これに $A=1+4C$、$B=1-2C$ を代入すると $$(1+4C)(1-2C)-C^2=1-2C.$$ 整理して $C(4-9C)=0$。条件 $\vec a\cdot\vec b\ne0$ より $C=4/9$ である。従って $$\displaystyle A=1+4C=\frac{25}{9},\qquad B=1-2C=\frac19,$$ ゆえに $|\vec a|=\sqrt A=5/3$。

この値を $g(t)^2$ に代入すると $$\displaystyle g(t)^2=\frac{t^2-8t+25}{9}=1+\frac{(t-4)^2}{9}.$$ $-8\le t\le8$ の範囲で $|t-4|$ の最大値は、端点のうち4から遠い $t=-8$ における12である。したがって $$\displaystyle \max\limits _{-8\le t\le8}g(t)^2=1+\frac{12^2}{9}=17,$$ $g(t)\ge0$ より最大値は $\sqrt{17}$ である。検算すると、$(A,B,C)=(25/9,1/9,4/9)$ は二つの長さ条件をそれぞれ2、5にし、$g(t)^2$ の最小値も1を与える。