東邦大学 2021年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

東邦大学2021年度第3問

$x=\sqrt{3}-\sqrt{7}$ のとき， $20x^{2}-x^{4}=\boxed{\text{シス}}$ であり， $\displaystyle \frac{32}{x^{3}}-\frac{32}{x^{2}}-\frac{56}{x}+50+22x-2x^{2}-x^{3}=\boxed{\text{セソ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle 20x^2-x^4=16,\qquad \frac{32}{x^3}-\frac{32}{x^2}-\frac{56}{x}+50+22x-2x^2-x^3=10.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$x=\sqrt3-\sqrt7$ から $x^2=10-2\sqrt{21},\qquad x^4=(10-2\sqrt{21})^2=184-40\sqrt{21}.$ したがって $20x^2-x^4=200-40\sqrt{21}-(184-40\sqrt{21})=16.$ 次に $x^4-20x^2+16=0$ である。これを $x^3$ 、 $x^2$ で割ると $\displaystyle \frac1{x^3}=\frac{20/x-x}{16},\qquad \frac1{x^2}=\frac{20-x^2}{16}.$ よって第2式の左辺を整理すると $\displaystyle \begin{aligned} &\frac{32}{x^3}-\frac{32}{x^2}-\frac{56}{x}+50+22x-2x^2-x^3\\ &=\left(\frac{40}{x}-2x\right)+(-40+2x^2)-\frac{56}{x}+50+22x-2x^2-x^3\\ &=10+20x-\frac{16}{x}-x^3. \end{aligned}$ ここで $\displaystyle \frac1x=-\frac{\sqrt3+\sqrt7}{4},\qquad x^3=(\sqrt3-\sqrt7)(10-2\sqrt{21})=24\sqrt3-16\sqrt7$ なので $\displaystyle 20x-\frac{16}{x}-x^3 =(20\sqrt3-20\sqrt7)+4(\sqrt3+\sqrt7)-(24\sqrt3-16\sqrt7)=0.$ 第2式の値は10である。検算として、簡約後の根号の $\sqrt3$ 、 $\sqrt7$ の係数はそれぞれ $20+4-24=0$ 、 $-20+4+16=0$ と消える。

この問題で使う考え方

実数と無理数

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。