9東邦大学 2021年 数学 第9問解答・解説

$\alpha^5=1$ なので $\alpha^{-j}=\alpha^{5-j}$ であり、また $\alpha\ne1$ より $$\displaystyle 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=\frac{\alpha^5-1}{\alpha-1}=0.$$ 第1の式は、各項を負の指数で書き直すと $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\alpha+1}{\alpha^4}+\frac{\alpha^2+1}{\alpha^3} +\frac{\alpha^3+1}{\alpha^2}+\frac{\alpha^4+1}{\alpha} &=(\alpha^2+\alpha)+(\alpha^4+\alpha^2)+(\alpha+\alpha^3)+(\alpha^3+\alpha^4)\\ &=2(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)=-2. \end{aligned}$$ 次に、第2の式の各項は $j=1,2,3,4$ に対する $\alpha^{-j}/(1+\alpha^j)$ である。分母は0でない。実際、$\alpha^j=-1$ なら両辺を5乗して $1=-1$ となり矛盾する。恒等式 $$(1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)=1+x^5$$ に $x=\alpha^j$ を代入すると、$x^5=1$ より $$\displaystyle \frac{\alpha^{-j}}{1+\alpha^j} =\frac12(\alpha^{-j}-1+\alpha^j-\alpha^{2j}+\alpha^{3j}).$$ $j=1,2,3,4$ について足すと、$\alpha^j$、$\alpha^{-j}$、$\alpha^{2j}$、$\alpha^{3j}$ の各和は、指数を5で割った余りが1,2,3,4を一度ずつとるので、いずれも $-1$ である。従って $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{4}\frac{\alpha^{-j}}{1+\alpha^j} =\frac12\{-1-4-1-(-1)-1\}=-3.$$ これが第2の式の値である。根の具体的な形に依存せず、$\alpha^5=1$、$\alpha\ne1$ だけで値が定まることも確認できる。