2東邦大学 2021年 数学 第2問解答・解説

データの平均は $$\displaystyle \bar{x}=\frac{2+3+1+5+1+6}{6}=3,\qquad \bar{y}=\frac{7+5+6+3+1+2}{6}=4.$$ 共分散は偏差の積の平均だから $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(x,y) &=\frac16\sum\limits _{i=1}^{6}(x_i-3)(y_i-4)\\ &=\frac16\{(-1)\cdot3+0\cdot1+(-2)\cdot2+2\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)+3\cdot(-2)\}\\ &=-\frac96=-\frac32. \end{aligned}$$ 次に $\bar z=a\bar x+b=3a+b=0$、$\bar w=a\bar y+b=4a+b=1/3$ より、差をとって $a=1/3$、従って $b=-1$ である。定数項は偏差をとると消えるため $$\displaystyle \operatorname{Cov}(z,w)=\frac16\sum\limits _{i=1}^{6}\{a(x_i-\bar{x})\}\{a(y_i-\bar{y})\} =a^2\operatorname{Cov}(x,y) =\frac19\left(-\frac32\right)=-\frac16.$$ 検算として、$z$ と $w$ の平均を戻すと $3(1/3)-1=0$、$4(1/3)-1=1/3$ となり、指定された平均値に一致する。