1東海大学 2019年 1日目 数学 第1問解答・解説

第1問 空欄の答えは順に $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac12}$$ $$\boxed{\text{イ}=-1}$$ $$\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac{5\sqrt3}{2}}$$ $$\boxed{\text{エ}=2\sqrt e(e-1)}$$ $$\boxed{\text{オ}=a}$$ $$\boxed{\text{カ}=c}$$ $$\boxed{\text{キ}=e}$$ である。

(1) 三角関数の基本極限を用いると $$\displaystyle \frac{\tan\theta-\sin\theta}{\theta^3} =\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\theta^3\cos\theta} =\frac{\sin\theta}{\theta}\,\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\,\frac1{\cos\theta} \longrightarrow 1\cdot\frac12\cdot1=\frac12.$$

(2) 条件を二次方程式に直すと $$z^2-\sqrt3z+1=0,$$ したがって $\displaystyle z=\cos\frac\pi6\pm i\sin\frac\pi6$ である。よって $$\displaystyle z^{20}+z^{-20}=2\cos\frac{20\pi}{6}=2\cos\frac{10\pi}{3}=-1.$$ ここでは $z\ne0$ は元の条件式から必要である。

(3) $BH$ は $AB$ の $BC$ 方向への射影だから、余弦定理（または内積）より $$\displaystyle BH=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2BC} =\frac{7^2+8^2-5^2}{16}=\frac{11}{2}.$$ 直角三角形 $ABH$ で $$\displaystyle AH^2=AB^2-BH^2=49-\frac{121}{4}=\frac{75}{4}, \qquad AH=\frac{5\sqrt3}{2}.$$

(4) 積分区間の上端・下端をそれぞれ微分する。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{x^2}{\log(x^2)}\,2x-\frac{x}{\log x} =\frac{x^3-x}{\log x}\quad(x>1),$$ （$\log(x^2)=2\log x$ を用いた）。したがって $$\displaystyle f'(\sqrt e)=\frac{e^{3/2}-e^{1/2}}{1/2}=2\sqrt e(e-1).$$

(5) 図1の横軸が平成27年、縦軸が平成29年である。平成27年の最大値は点 $X$ の少し右にある点の約 $6.6$、平成29年の最大値は約 $5.9$ なので a は正しい。平成27年の分布は、図1の横軸の最小値・最大値と中央値・四分位数が箱ひげ図 A に対応するので c は正しい。一方、平成29年は中央値約 $3.5$、範囲約 $1.2$ から $5.9$ の箱ひげ図 C に対応し、Eではないから d は誤りである。点 $Y$ の横座標は約 $5.0$ であり、平成27年の中央値（箱ひげ図Aの中央値、約 $4.0$）ではないから b は誤りである。図1は右上がりの傾向を示し、右端付近でその傾向より低い点 $X$ が正の相関を弱めているため、Xを除くと相関係数は大きくなる。よって e は正しく、負の相関という f は誤りである。以上より正しい記述は $a,c,e$ である。

検算 (3) はヘロンの公式でも確かめられる。半周長は $10$、面積は $\sqrt{10\cdot3\cdot5\cdot2}=10\sqrt3$ なので、高さは $2\cdot10\sqrt3/8=5\sqrt3/2$ と一致する。(4) の微分式は原始関数を用いて上下端の寄与を別々に微分した式と一致する。(5) は箱ひげ図Aの中央値と点Yの横座標を比べても b が誤りと確認できる。