1北里大学 2011年 数学 第1問解答・解説

まず (1) では、$\displaystyle f(x)=\dfrac{2e^x-1}{e^x+1}=2-\dfrac{3}{e^x+1}$ とおく。 $$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x}{(e^x+1)^2}>0,\qquad f''(x)=\dfrac{3e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}.$$ よって $f''(x)$ は $x<0$ で正、$x>0$ で負となるから、変曲点は $x=0$、$\displaystyle f(0)=\dfrac12$ より $\displaystyle \left(0,\dfrac12\right)$ である。また $f$ は単調増加で、$x\to-\infty$ で $f(x)\to-1$、$x\to\infty$ で $f(x)\to2$ であり、いずれの値も有限の $x$ ではとらない。したがって値域は $-1<y<2$。逆関数は $\displaystyle y=\dfrac{2e^x-1}{e^x+1}$ を $e^x$ について解いて $\displaystyle e^x=\dfrac{y+1}{2-y}$ とし、$-1<y<2$ に注意して $\displaystyle x=\ln\dfrac{y+1}{2-y}$ を得る。変数を入れ替えると $\displaystyle f^{-1}(x)=\ln\dfrac{x+1}{2-x}$（$-1<x<2$）である。

(2)(i) $n=5$ のとき、千の位が $1$ または $2$ ならば $3000$ 未満であり、残る3個の数字の並べ方は各々 $3!$ 通りである。よって $2\cdot3!=12$ 個。(ii) $2000$ 未満となるには千の位が $1$ である。残る $2,3,n$ の並べ方は6通りであり、各桁には各数字が2回ずつ現れる。したがって総和は $$1000\cdot6+2(2+3+n)(100+10+1)=6000+222(n+5)=222n+7110.$$ これが $8442$ となる条件は $222n=1332$、すなわち $n=6$。これは $4\le n\le9$ を満たす。

(3)(i) $P=(x,y)$ とおくと $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-1,y-2)$ である。直交条件から $(1,2)\cdot(x-1,y-2)=0$、すなわち $x+2y=5$。これと楕円の式を連立すると $$\displaystyle \frac{(5-2y)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\quad\text{すなわち}\quad25y^2-80y+64=0\quad\text{すなわち}\quad y=\frac85,\;x=\frac95.$$ よって $\displaystyle P=\left(\frac95,\frac85\right)$。

(ii) 楕円上の点を $(x,y)=(3\cos\theta,2\sin\theta)$ と表すと、 $$t=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x+2y=3\cos\theta+4\sin\theta.$$ したがって、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より $$25-(3\cos\theta+4\sin\theta)^2=(4\cos\theta-3\sin\theta)^2\ge0.$$ また、$\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)=\left(\frac35,\frac45\right)$ およびその反対のとき等号が成り立つので、とり得る範囲は $-5\le t\le5$。

(iii) 三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12|1\cdot y-2\cdot x|=\frac12|y-2x|.$$ $(x,y)=(3\cos\theta,2\sin\theta)$ を代入すると $$10-(\sin\theta-3\cos\theta)^2=(\cos\theta+3\sin\theta)^2\ge0,$$ より $S\le\sqrt{10}$。 例えば $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)=\left(-\frac3{\sqrt{10}},\frac1{\sqrt{10}}\right)$ のとき楕円上で等号が成り立ち、このとき $y-2x=2\sqrt{10}\ne0$ なので3点は一直線上にない。よって最大値は $\sqrt{10}$。

(4) 両辺に $(x-1)^2(x+2)$ を掛けて $$1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)^2.$$ $x=1,-2$ を代入すると $\displaystyle B=\frac13, C=\frac19$。また $x^2$ の係数を比較して $A+C=0$ より $\displaystyle A=-\frac19$。ゆえに $$\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2(x+2)}=-\frac{1}{9(x-1)}+\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{1}{9(x+2)}.$$ 積分範囲 $2\le x\le4$ では各分母は零にならず、 $$\displaystyle \int_2^4\frac{dx}{(x-1)^2(x+2)}=\left[-\frac19\ln(x-1)-\frac{1}{3(x-1)}+\frac19\ln(x+2)\right]_2^4=\frac{2-\ln2}{9}.$$