3北里大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) 放物線 $C_2:y=-x^2+1$ 上の点の $x$ 座標を $u$ とする。その点での接線は傾き $-2u$ であり、 $$y-(-u^2+1)=-2u(x-u),\qquad y=-2ux+u^2+1.$$ これが $A(a,1/a)$ を通る条件は $$\displaystyle u^2-2au+1-\frac1a=0.$$ この2つの実数解を $u_1,u_2$ とすると、対応する接線の傾きは $-2u_1,-2u_2$ である。直交条件は $4u_1u_2=-1$。解と係数の関係から $\displaystyle u_1u_2=1-\frac1a$ なので $$\displaystyle 1-\frac1a=-\frac14\quad\text{より}\quad a=\frac45.$$ このとき接線を定める二次方程式の判別式は $$\displaystyle (-2a)^2-4\left(1-\frac1a\right)=\frac{89}{25}>0,$$ よって異なる2本の実接線があり、傾きの積は $-1$ である。したがって $\displaystyle A=\left(\frac45,\frac54\right)$。

(2) $C_1$ 上では $p>0$ であり、$y=1/x$ の導関数は $-1/x^2$。よって点 $P(p,1/p)$ における接線は $$\displaystyle y-\frac1p=-\frac1{p^2}(x-p),\qquad l_1:y=-\frac{x}{p^2}+\frac2p.$$ $C_2$ 上の $x$ 座標 $q$ の点における接線は $y=-2qx+q^2+1$ である。これが $l_1$ と同じ傾きをもつ条件は $-2q=-1/p^2$、すなわち $q=1/(2p^2)$。したがって $$\displaystyle l_2:y=-\frac{x}{p^2}+1+\frac{1}{4p^4}.$$

(3) 共通接線となるには (2) の2直線の切片も等しいから $$\displaystyle \frac2p=1+\frac{1}{4p^4}\quad\text{すなわち}\quad g(p):=4p^4-8p^3+1=0,\qquad p>0.$$ この多項式の導関数は $g'(p)=8p^2(2p-3)$ である。したがって $0<p<3/2$ では減少し、$p>3/2$ では増加する。値を調べると $$\displaystyle g\left(\frac12\right)=\frac14>0,\quad g(1)=-3<0,\quad g\left(\frac32\right)=-\frac{23}{4}<0,\quad g(2)=1>0.$$ 多項式は連続であるから、$1/2<p<1$ の範囲に少なくとも1つ、$3/2<p<2$ の範囲に少なくとも1つ正の解がある。単調性よりそれぞれの区間で解は1つだけであり、$0<p<3/2$ および $p>3/2$ の他の範囲には解がない。よって正の解はちょうど2個である。各解 $p>0$ に対して (2) の $l_1,l_2$ は一致し、両曲線の接線となる。また異なる正の $p$ は傾き $-1/p^2$ が異なるので、得られる直線も異なる。したがって共通接線はちょうど2本である。