3東京大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 円周 $C$ 上で最も $y$ 座標が小さい点は、各 $x$ に対する下側の点 $(x,a-\sqrt{1-x^2})$ である。したがって、$C$ 全体が $y>x^2$ を満たすための必要十分条件は $$a>x^2+\sqrt{1-x^2}\qquad(-1\le x\le1)$$ である。$t=x^2$, $u=\sqrt{1-t}$ とおくと $0\le u\le1$ で、右辺は $$\displaystyle t+\sqrt{1-t}=1-u^2+u=\frac54-\left(u-\frac12\right)^2\le\frac54.$$ 最大値 $5/4$ は $u=1/2$（$x^2=3/4$）で実現する。円周全体で不等号を厳密に満たすには $a>5/4$ が必要十分である。$a=5/4$ では等号となる点があるため含まれない。

(2) $a>5/4$ とする。円の中心を $O=(0,a)$ とおく。$S$ 上の点を $P=(x,a-s)$, $s=\sqrt{1-x^2}$ とおくと、$0\le x<1$ かつ $0<s\le1$ である。中心から $P$ への半径ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は $(x,-s)$ だから、$P$ における接線はこのベクトルと直交し、 $$\displaystyle x(X-x)-s\{Y-(a-s)\}=0, \qquad\text{すなわち}\qquad Y=\frac{x}{s}X+a-\frac1s.$$ 放物線 $Y=X^2$ との交点の $X$ 座標は $$\displaystyle X^2-\frac{x}{s}X-a+\frac1s=0$$ の二根 $X_1,X_2$ である。その判別式は $$\displaystyle \Delta=\frac{1-4s+(4a-1)s^2}{s^2} =\frac{(1-2s)^2+(4a-5)s^2}{s^2}>0,$$ なので二交点が存在する。接線の傾きは $x/s$ で、$x^2+s^2=1$ より $\sqrt{1+(x/s)^2}=1/s$ である。よって、二交点間の距離は $$\displaystyle L_P=\frac1s|X_1-X_2|=\frac{\sqrt{1-4s+(4a-1)s^2}}{s^2}.$$ ここで $t=1/s$ とおくと $t\ge1$ であり、$t$ は $S$ 上の点を一対一に定める。また $$L_P^2=g_a(t),\qquad g_a(t)=t^2\{(t-2)^2+4a-5\}.$$ $L_P>0$ なので、異なる二点で長さが等しいことは、$g_a$ が $t\ge1$ の範囲で異なる二つの $t$ に同じ値をとることと同値である。

導関数は $$g_a'(t)=2t(2t^2-6t+4a-1),$$ である。括弧内の二次式の判別式は $4(11-8a)$ である。

まず $\displaystyle \frac54<a<\frac{11}{8}$ とする。このとき $$\displaystyle t_- =\frac{3-\sqrt{11-8a}}2,\qquad t_+=\frac{3+\sqrt{11-8a}}2$$ は $1<t_-<t_+<2$ を満たす。導関数は $1\le t<t_-$ で正、$t_-<t<t_+$ で負となるので、$g_a$ は $t_-$ で極大、$t_+$ で極小となる。さらに $g_a(1)<g_a(t_-)$ かつ $g_a(t_+)<g_a(t_-)$ である。したがって $\displaystyle \max\{g_a(1),g_a(t_+)\}$ と $g_a(t_-)$ の間の値を選べば、その値は区間 $1\le t\le t_-$ と $t_-\le t\le t_+$ のそれぞれで一度ずつとる。異なる $t$、したがって$S$ 上の異なる点 $Q,R$ で $L_Q=L_R$ となる。

次に $\displaystyle a\ge\frac{11}{8}$ とする。括弧内は $$\displaystyle 2t^2-6t+4a-1=2\left(t-\frac32\right)^2+4a-\frac{11}{2}\ge0.$$ 等号となるのは $a=11/8$, $t=3/2$ の一点だけであるため、$g_a$ は $t\ge1$ の範囲で増加し、異なる $t$ が同じ値をとることはない。

以上より、求める範囲は $$\displaystyle \frac54<a<\frac{11}{8}.$$