3和歌山県立医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

曲線 $K:y=x^2$ の $x=t$ における接線方向ベクトルは、$y'=2x$ より $(1,2t)$ である。

(1) 接線方向に垂直な直線は、接線方向ベクトルとの内積が0となるから $$(x-t)+2t(y-t^2)=0,\qquad\therefore\quad x+2ty=t+2t^3.$$ これは $t=0$ の場合も $x=0$ として正しく成り立つ。

(2) 法線方向のうち $K$ の下側を向く方向ベクトルは $(2t,-1)$ であり、その大きさは $\sqrt{4t^2+1}$ である。半径が1なので、円の中心は接点からこの方向へ距離1だけ進んだ点である。したがって $$\displaystyle (u,v)=(t,t^2)+\frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}(2t,-1),$$ よって $$\displaystyle u=t+\frac{2t}{\sqrt{4t^2+1}},\qquad v=t^2-\frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}.$$

(3) 円が $x$ 軸に接する条件は、中心と $x$ 軸との距離が半径1に等しいこと、すなわち $|v|=1$ である。$q=t^2\ (q\ge0)$ とおくと $$\displaystyle v=q-\frac{1}{\sqrt{4q+1}}.$$ まず $v=-1$ のとき $$\displaystyle q+1=\frac{1}{\sqrt{4q+1}}.$$ 左辺は1以上、右辺は1以下であるから、両辺が等しいのは両方1のときに限る。よって $q=0$、すなわち $t=0$ である。

次に $v=1$ のとき $q-1=1/\sqrt{4q+1}>0$ より $q>1$ である。両辺が正であることに注意して2乗すると $$(q-1)^2(4q+1)=1\quad\text{すなわち}\quad q(4q^2-7q+2)=0.$$ $q>1$ なので、二次方程式を解いて得る候補 $q=(7\pm\sqrt{17})/8$ のうち、1より大きい $q=(7+\sqrt{17})/8$ だけが適する。この値では $(q-1)\sqrt{4q+1}=1$ であり、元の式も満たす。従って $t=\pm\sqrt{(7+\sqrt{17})/8}$ である。

以上から、求める値は $$\displaystyle \boxed{t=0,\quad t=\pm\sqrt{\frac{7+\sqrt{17}}8}}.$$

検算すると、$t=0$ では $(u,v)=(0,-1)$ となる。また $q=(7+\sqrt{17})/8$ では $(q-1)\sqrt{4q+1}=1$ より $1/\sqrt{4q+1}=q-1$ だから $v=1$ である。いずれも $|v|=1$ を満たし、円は $x$ 軸に接する。