2和歌山県立医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $|\alpha|=|\beta|=1$ だから、$\alpha\overline{\alpha}=\beta\overline{\beta}=1$ である。よって $\displaystyle\frac1\alpha=\overline{\alpha}$、$\displaystyle\frac1\beta=\overline{\beta}$ となり、$\displaystyle\frac1\alpha+\frac1\beta=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$ が成り立つ。　 (2) 与えられた等式で $\alpha,\beta\ne0$ であるから、両辺に $\alpha\beta$ を掛けられる。すると $$\alpha+\beta=\alpha\beta(\overline{\alpha}+\overline{\beta})=\alpha\beta\,\overline{\alpha+\beta}.$$ ここで $\alpha+\beta=0$ なら一方の結論が成り立つ。そうでなければ、両辺の絶対値を取り、$|\alpha+\beta|=|\alpha\beta|\,|\alpha+\beta|$ から $|\alpha+\beta|\ne0$ を約して $|\alpha\beta|=1$ を得る。したがって、いずれの場合も示すべき結論が成り立つ。　 (3) $\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とし、$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ と書く。分母があるので $r>0$、また $\beta\ne0$ である。$\beta=e^{i\theta}z$（$z=x+iy$、$x,y$ は実数）とおく。(2)で得た変形を用いると、求める等式は $$r+z=rz(r+\overline z)=r^2z+r|z|^2$$ と同値である。実部と虚部を比較して $$r+x=r^2x+r(x^2+y^2),\qquad y=r^2y$$ を得る。　 $r=1$ のとき、実部の式は $x^2+y^2=1$ となり、虚部の式は常に成り立つ。$|\beta|=|z|$ だから、この場合の解は $|\beta|=1$ を満たす複素数すべてである。これは (1) からも確かめられる。　 $r\ne1$ のとき、虚部の式から $y=0$ である。これを実部の式に代入して整理すると $$r x^2+(r^2-1)x-r=0,\qquad (x+r)(rx-1)=0.$$ よって $z=-r$ または $z=1/r$ であり、$\beta=e^{i\theta}z$ より $$\displaystyle \beta=-r(\cos\theta+i\sin\theta)\quad\text{または}\quad \beta=\frac1r(\cos\theta+i\sin\theta).$$ いずれも元の等式を満たす。実際、前者では逆数の和と共役の和がともに $0$ であり、後者では両者がともに $(r+1/r)(\cos\theta-i\sin\theta)$ となる。以上で全解を得た。