5鹿児島大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) 点Pの位置ベクトルは$\vec r=(\sin t,\sin 2t)$であるから、速度ベクトルは $$\displaystyle \vec v=\frac{d\vec r}{dt}=(\cos t,\,2\cos 2t)$$ である。

(2) $|\vec v|^2=\cos^2t+4\cos^22t$とおく。$u=\cos^2t$とすると$0\le u\le1$であり、$\cos2t=2\cos^2t-1=2u-1$だから、 $$\displaystyle |\vec v|^2=u+4(2u-1)^2=16u^2-15u+4=16\left(u-\frac{15}{32}\right)^2+\frac{31}{64}.$$ $0\le15/32\le1$であり、$u=\cos^2t$はその値をとる。したがって$|\vec v|^2$の最小値は$31/64$であり、速さの最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt{31}}{8}}$$ である。

(3) $x=\sin t$、$y=\sin2t=2\sin t\cos t=2x\cos t$より、$\cos^2t=1-x^2$を用いて $$y^2=4x^2(1-x^2)\qquad(-1\le x\le1)$$ を得る。$t$が$0$から$2\pi$まで動くので、各$x$に対する$\cos t$の両方の符号が現れ、この方程式は曲線全体を表す。曲線は$x=0,\pm1$で$x$軸と交わり、左右に一つずつ輪をもつ。$y^2=4x^2(1-x^2)$から$y^2$は$x^2=1/2$のとき最大となり、その値は$1$である。原点で交差する左右二つの輪の形なので、図は$\boxed{\text{(い)}}$である。

(4) 右側の輪では$0\le x\le1$で上側と下側の曲線はそれぞれ$y=2x\sqrt{1-x^2}$、$y=-2x\sqrt{1-x^2}$である。左右の輪は対称なので、囲まれた部分全体の面積$S$は $$\displaystyle S=2\int_0^1 4x\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ ここで$u=1-x^2$とおくと$du=-2x\,dx$より $$\displaystyle \int_0^1 4x\sqrt{1-x^2}\,dx=2\int_0^1\sqrt{u}\,du=\frac{4}{3}.$$ したがって $$\displaystyle S=2\cdot\frac{4}{3}=\boxed{\frac{8}{3}}.$$

媒介変数表示を微分して速度を求め、速さの二乗を$\cos^2 t$の二次関数として最小化する。二倍角の関係で媒介変数を消去してグラフを特定し、上下の枝を定積分して二つの輪の面積を求める。