5神戸大学 2021年 数学 第5問解答・解説

$D=5+4\cos t$ とおく。$\cos t\ge-1$ より $D\ge1>0$ なので、以下の式はすべての実数 $t$ で定義される。

(1) $\sin^2t=1-\cos^2t$ を用いると $$(4+5\cos t)^2+9\sin^2t =25+40\cos t+16\cos^2t =(5+4\cos t)^2=D^2.$$ したがって $$\displaystyle OP=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{D^2}}{D}=1.$$

(2) 商の微分法により $$\displaystyle \frac{dx}{dt} =\frac{-5\sin t(5+4\cos t)+4\sin t(4+5\cos t)}{D^2} =-\frac{9\sin t}{D^2},$$ $$\displaystyle \frac{dy}{dt} =\frac{3\cos t(5+4\cos t)+12\sin^2t}{D^2} =\frac{3(4+5\cos t)}{D^2}.$$ よって $$\displaystyle \vec v=\left(-\frac{9\sin t}{(5+4\cos t)^2},\frac{3(4+5\cos t)}{(5+4\cos t)^2}\right).$$ また $$9\sin^2t+(4+5\cos t)^2=(5+4\cos t)^2=D^2$$ だから、$D>0$ に注意して $$\displaystyle |\vec v|=\frac{3\sqrt{9\sin^2t+(4+5\cos t)^2}}{D^2} =\frac{3}{D}=\frac{3}{5+4\cos t}.$$

(3) $$\displaystyle I=\int_0^\pi\frac{dt}{5+4\cos t}$$ とおく。置換 $t\mapsto\pi-t$ により $$\displaystyle I=\int_0^\pi\frac{dt}{5-4\cos t}.$$ 二つの式を加え、さらに $\cos^2t$ の対称性を使うと $$\displaystyle I=10\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{25-16\cos^2t}.$$ ここで $u=\tan t$ とおくと、$dt=du/(1+u^2)$、$\cos^2t=1/(1+u^2)$ であり、積分区間は $0\le u<\infty$ となる。よって $$\displaystyle I=10\int_0^\infty\frac{du}{9+25u^2} =\frac23\left[\arctan\frac{5u}{3}\right]_0^\infty =\frac{\pi}{3}.$$