3神戸大学 2021年 数学 第3問解答・解説

・ 垂直条件より $\vec a\cdot\vec b=0$ であり、$x=|\vec a|>0, y=|\vec b|>0$ である。したがって$$\begin{aligned}(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+3\vec b)&=x^2+3y^2,\\|\vec a+\vec b|^2&=x^2+y^2,\qquad |\vec a+3\vec b|^2=x^2+9y^2.\end{aligned}$$よって$$\displaystyle \cos\theta=\frac{x^2+3y^2}{\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}}>0,$$なので $\displaystyle 0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ である。ゆえに$$\displaystyle \begin{aligned}\sin^2\theta&=1-\cos^2\theta\\&=\frac{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)-(x^2+3y^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}\\&=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}.\end{aligned}$$

・ $x,y>0$ であり、$$(x^2+y^2)(x^2+9y^2)-16x^2y^2=(x^2-3y^2)^2\geq0$$だから、(1)より $\displaystyle \sin^2\theta\leq\frac14$ である。$\displaystyle 0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ なので、これは $\displaystyle \theta\leq\frac{\pi}{6}$ を与える。等号は $x^2=3y^2$、すなわち $x=\sqrt3 y$ のとき成立し、この長さの非零な垂直ベクトルは取れる。したがって最大値は $\displaystyle \boxed{\frac{\pi}{6}}$ である。