神戸大学 2021年数学第1問解答・解説

いろいろな式数学と人間の活動（整数）

このページには広告が含まれます。

1問題

神戸大学2021年度第1問

$i$ を虚数単位とする。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $n=2,3,4,5$ のとき $(2+i)^n$ を求めよ。またそれらの虚部の整数を10で割った余りを求めよ。

(2) $n$ を正の整数とするとき $(2+i)^n$ は虚数であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

判定採用。原文 PDF p.2 の問1(1)(2)と指定旧答 A055 を照合。複素数の累乗、10で割った余り、虚部が非零であることの証明はいずれも正しい。表示タグの差分はない。

数学確認 $z=2+i$ として順に掛けると $z^2=3+4i,\quad z^3=2+11i,\quad z^4=-7+24i,\quad z^5=-38+41i.$ 虚部の10で割った余りは順に $4,1,4,1$ 。

一般に $w=2+i$ , $w^m=a_m+b_mi$ と書くと $w^3=w+10i$ より $w^{m+3}=w^{m+1}+10iw^m.$ $10iw^m=-10b_m+10a_mi$ の虚部は10の倍数なので、 $b_{m+3}\equiv b_{m+1}\pmod5$ 。従って $b_n$ は指数を2ずつ減らしても5を法とする余りを保ち、奇数 $n$ なら $b_1=1$ 、偶数 $n$ なら $b_2=4$ と同じ余りになる。いずれも0でないため、すべての正整数 $n$ で虚部は非零。

指定旧答 A055 と結論・論証は一致する。

この問題で使う考え方

複素数の四則演算
約数・倍数

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。