北里大学／2020年度／1日目

北里大学 2020年 1日目数学第1問解答・解説

二次関数いろいろな式微分法積分法数学と人間の活動（整数）ベクトル平面上の曲線と複素数平面

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1問題

北里大学2020年度第1問

冊子共通指示：数学（一般）の問題用紙3枚すべてに解答し，問題文中の記号枠は解答用紙の同名欄に記入する。

次の各文の $\square$ にあてはまる答を求めよ。

(1) $p,q$ を実数の定数， $i$ を虚数単位とする。 $x$ の方程式 $\displaystyle x^{3}-(p-i)x^{2}+(q-pi)x-2p+\frac{3p}{2}i=0$ が $2+i$ を解にもつとする。このとき， $p=\boxed{\text{ア}},\quad q=\boxed{\text{イ}}$ である。また，この方程式の $2+i$ 以外の解を $\alpha,\beta$ （ただし $|\alpha|<|\beta|$ ）とおくと， $\displaystyle \left(\frac{\beta-i}{\alpha}\right)^{7}=\boxed{\text{ウ}}$ である。

(2) $\omega$ を正の定数とする。座標平面上を運動する点 $P(x,y)$ は時刻 $t$ を媒介変数として，サイクロイド $\displaystyle x=2(\omega t-\sin\omega t),\quad y=2(1-\cos\omega t)\quad\left(0\leq t\leq\frac{2\pi}{\omega}\right)$ を描くとする。時刻 $t$ における点 $P$ の加速度を $\vec{\alpha}$ とするとき，その大きさは $|\vec{\alpha}|=\boxed{\text{エ}}$ である。また， $t=0$ から $\displaystyle t=\frac{2\pi}{\omega}$ までの間に点 $P$ が動く道のりは $\boxed{\text{オ}}$ である。原点と点 $(2\pi,4)$ を通る直線を $\ell$ とするとき，点 $P$ が描く曲線と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{カ}}$ である。

(3) $O$ を原点とする座標空間において，点 $A(-1,0,-4)$ を通り $\vec{a}=(1,1,1)$ に平行な直線を $l$ ，点 $B(4,-5,0)$ を通り $\vec{b}=(-1,2,0)$ に平行な直線を $m$ とする。このとき，次のような時刻 $t$ における動点 $P,Q$ を考える。動点 $P$ は $t=0$ で $A$ を出発し， $l$ 上を $\vec{a}$ の方向に一定の速度で進み， $t=10$ で点 $(9,10,6)$ に到達する。一方，動点 $Q$ は， $t=0$ から $t=2$ までは点 $B$ で静止しており，その後， $t=2$ で $B$ を出発し， $m$ 上を $\vec{b}$ の方向に一定の速度で進み， $t=10$ で点 $(0,3,0)$ に到達する。 $0\leq t\leq10$ における $\overrightarrow{OP}$ の各成分を $t$ を用いて表すと $\boxed{\text{キ}}$ である。また， $0\leq t\leq10$ における $|\overrightarrow{PQ}|$ の最小値は $\boxed{\text{ク}}$ である。

(4) 方程式 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{3w}=\frac{7}{3}$ を満たす自然数の組 $(x,y,z,w)$ について考える。 $x$ のとり得る値をすべて求めると $\boxed{\text{ケ}}$ である。 $x=y=1$ のとき，自然数の組 $(z,w)$ をすべて求めると $\boxed{\text{コ}}$ である。自然数の組 $(x,y,z,w)$ のうち， $xyzw$ の値を最大にするものは $\boxed{\text{サ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア $=6,\quad$ イ $=13,\quad$ ウ $=8-8i,\quad$ エ $=2\omega^2,\quad$ オ $=16,\quad$ カ $=2\pi,\quad$ キ $=(t-1,t,t-4),\quad$ ク $=7,\quad$ ケ $=1,2,\quad$ コ $=(z,w)=(2,4),(3,2),\quad$ サ $=(x,y,z,w)=(1,1,2,4)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1)}\quad x=2+i\text{を代入すると、実部・虚部がそれぞれ }2q-4p-2=0,\quad q-\frac{9}{2}p+14=0\text{ となる。したがって }q=2p+1=\frac{9}{2}p-14\text{ より }p=6,\ q=13.\\ \text{このとき多項式は}\quad x^3-(6-i)x^2+(13-6i)x-12+9i=(x-(2+i))(x^2+(-4+2i)x+3-6i)\\ =(x-(2+i))(x-3)(x-(1-2i)). \text{よって }\alpha=1-2i,\ \beta=3\text{（}|\alpha|=\sqrt5<3=|\beta|\text{）であり、}\\ \left(\frac{\beta-i}{\alpha}\right)^7=\left(\frac{3-i}{1-2i}\right)^7=(1+i)^7=8-8i.\\[2mm] \text{(2)}\quad \theta=\omega t\text{ とおく。速度・加速度は}\quad (x',y')=(2\omega(1-\cos\theta),2\omega\sin\theta),\\ (x'',y'')=(2\omega^2\sin\theta,2\omega^2\cos\theta)\text{ だから }|\vec\alpha|=2\omega^2.\\ \text{速さは }\sqrt{x'^2+y'^2}=2\omega\sqrt{2-2\cos\theta}=4\omega\sin\frac{\theta}{2}\quad(0\leq\theta\leq2\pi).\text{よって道のりは}\\ \int_0^{2\pi/\omega}4\omega\sin\frac{\omega t}{2}\,dt=16.\\ \text{曲線は }\theta=0\text{ で }(0,0),\ \theta=\pi\text{ で }(2\pi,4)\text{ を通り、直線 }\ell\text{ は }y=\frac{2}{\pi}x\text{ である。囲まれた面積は}\\ \int_0^\pi y\,dx-\int_0^{2\pi}\frac{2}{\pi}x\,dx =4\int_0^\pi(1-\cos\theta)^2\,d\theta-4\pi=6\pi-4\pi=2\pi.\\[2mm] \text{(3)}\quad P\text{ の速度は }((9,10,6)-(-1,0,-4))/10=(1,1,1)\text{ だから }\overrightarrow{OP}=(t-1,t,t-4).\\ 0\leq t\leq2\text{ では }Q=B\text{ であり、}|PQ|^2=(t-5)^2+(t+5)^2+(t-4)^2 =3\left(t-\frac43\right)^2+\frac{182}{3}\geq\frac{182}{3}.\\ 2\leq t\leq10\text{ では }Q=B+\frac{t-2}{2}\vec b=(5-\tfrac t2,t-7,0)\text{ なので }|PQ|^2=\frac{13}{4}(t-4)^2+49\geq49.\\ \sqrt{182/3}>7\text{ であり、後半区間では }t=4\text{ で等号となる。したがって最小値は }7.\\[2mm] \text{(4)}\quad \frac1y+\frac1{2z}+\frac1{3w}\leq1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}\text{ だから、}\frac73-\frac1x\leq\frac{11}{6}\text{、すなわち }x\leq2.\\ (x,y,z,w)=(1,1,2,4)\text{ および }(2,1,1,1)\text{ は条件を満たすので }x=1,2.\\ x=y=1\text{ のとき }\frac1{2z}+\frac1{3w}=\frac13\text{、すなわち }\frac3z+\frac2w=2.\text{ これを }w\text{ について解くと}\\ w=\frac{2z}{2z-3}=1+\frac3{2z-3}.\text{ }w>0\text{ より }z\geq2\text{ で、}2z-3\text{ は正の奇数。これが }3\text{ の約数となるので }2z-3=1,3.\\ \text{従って }(z,w)=(2,4),(3,2).\\ \text{積の最大値を調べる。}x=2\text{ なら残り三項の和は最大値 }11/6\text{ に等しく、これには }y=z=w=1\text{ が必要なので積は }2.\\ x=1\text{ なら }\frac1y+\frac1{2z}+\frac1{3w}=\frac43.\text{ 後二項の和は高々 }5/6\text{ だから }y\leq2.\ y=1\text{ の場合の積は }8,6\text{、}y=2\text{ なら後二項が最大値 }5/6\text{ となり }z=w=1\text{、積は }2.\\ \text{よって最大積は }8\text{ で、それを与える組は }(x,y,z,w)=(1,1,2,4).$

この問題で使う考え方

複素数の四則演算
高次方程式
速度と加速度
三角関数の微分
曲線の長さ
曲線で囲まれた面積
曲線の媒介変数表示
ベクトルの成分表示

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