3北里大学 2020年 1日目 数学 第3問解答・解説

条件 $f''(x)<0$ より $-1<u<v$ なら $f'(u)>f'(v)$ が成り立つ。さらに $f(0)=0,\ f'>0$ から $x>0$ では $f(x)>0$ である。

(1)$\quad (a,f(a))$ における接線を $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ とする。$\displaystyle a-\frac12\geq0$ であり、$0\le x<a$ では $f'(x)>f'(a)$ だから

$$\displaystyle f(a)=\int_0^a f'(x)\,dx>a f'(a)\geq\frac12 f'(a).$$

従って $\displaystyle L\left(a-\frac12\right)>0$ で、接線は指定された縦線の間で $x$ 軸より上にある。両端の高さは $\displaystyle f(a)-\frac12f'(a)$ と $\displaystyle f(a)+\frac12f'(a)$ である。幅1の台形の面積は

$$\displaystyle \frac12\left\{f(a)-\frac12f'(a)+f(a)+\frac12f'(a)\right\}=f(a).$$

(2)$\quad f''<0$ なので、区間端点を結ぶ弦は区間内部でグラフより下にあり、その弦の積分は端点値の平均である。よって

$$\displaystyle \frac12\left\{f\left(a-\frac12\right)+f\left(a+\frac12\right)\right\}<\int_{a-1/2}^{a+1/2}f(x)\,dx.$$

一方、$f'$ が減少することから $x\ne a$ では $f(x)<f(a)+f'(a)(x-a).$ この接線を区間で積分すると、一次の項は対称性により相殺されて $f(a)$ となる。したがって

$$\displaystyle \int_{a-1/2}^{a+1/2}f(x)\,dx<f(a).$$

(3)$\quad f$ は $x\ge0$ で増加するので $\displaystyle \int_0^n f(x)\,dx<\sum\limits _{k=1}^{n}f(k).$ また $f(x)>0\ (0<x<1/2)$ より $\displaystyle \int_{1/2}^n f(x)\,dx<\int_0^n f(x)\,dx.$ これで左側の不等式が従う。

右側は (2) を $\displaystyle a=k+\frac12\ (k=0,1,\ldots,n-1)$ に適用して

$$\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2}<\int_k^{k+1}f(x)\,dx.$$

これらを加えると、$f(0)=0$ より$\displaystyle \quad \sum\limits _{k=1}^{n-1}f(k)+\frac12f(n)<\int_0^n f(x)\,dx.$

従って $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}f(k)<\int_0^n f(x)\,dx+\frac12f(n).$

(4)$\displaystyle \quad \log(n!)=\sum\limits _{k=2}^{n}\log k$ とおく（$\log$ は自然対数）。$\log x$ は $x\geq1$ で増加するので

$$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx<\sum\limits _{k=2}^{n}\log k<\int_2^{n+1}\log x\,dx.$$

両端を積分すると$\quad n\log n-n+1<\log(n!)<(n+1)\log(n+1)-(n+1)-2\log2+2.$

両端を $n\log n$ で割ると、それぞれの比は $1$ に収束するから$\displaystyle \quad\frac{\log(n!)}{n\log n}\longrightarrow1.$

よって$\displaystyle \quad (n!)^{1/(n\log n)}=\exp\left(\frac{\log(n!)}{n\log n}\right)\longrightarrow e.$