3名古屋市立大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$ より $f(x)=2\log x/x^2$ である。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-2\log x)}{x^3},\qquad f''(x)=\frac{2(6\log x-5)}{x^4}.$$ $x^3>0$ だから，$f'(x)>0$ は $0<x<\sqrt e$，$f'(x)<0$ は $x>\sqrt e$ と同値である。したがって $0<x<\sqrt e$ で増加し，$x>\sqrt e$ で減少する。極大値は $f(\sqrt e)=1/e$ で，極小値はない。 また，$f''(x)<0$ は $0<x<e^{5/6}$，$f''(x)>0$ は $x>e^{5/6}$ と同値である。よって前者で上に凸，後者で下に凸となり，変曲点は $$\displaystyle \left(e^{5/6},f(e^{5/6})\right)=\left(e^{5/6},\frac{5}{3e^{5/3}}\right)$$ である。さらに $f(1)=0$，$x>1$ で $f(x)>0$ である。$t=1/x$ とおくと $x\to0+$ で $t\to\infty$ となり，$f(1/t)=-2t^2\log t\to-\infty$。問題文で与えられた極限と $x>1$ での正値性から，$x\to\infty$ では $f(x)\to0$（正の側から）である。図の実線が $f$ であり，$x=1$ と接点 $x=p$ の間を面積部分として示した。

(2) 接点の $x$ 座標を $p$ とする。共有点条件と接線の傾きの一致から $$f(p)=kp^2,\qquad f'(p)=2kp.$$ 第1式を第2式に代入し，$p>0$ を用いると $f'(p)=2f(p)/p$ を得る。関数と導関数を代入すれば $$\displaystyle \frac{2(1-2\log p)}{p^3}=\frac{4\log p}{p^3}, \qquad \log p=\frac14.$$ したがって $p=e^{1/4}$ であり，$k=f(p)/p^2=1/(2e)$ である。

(3) (2)の値を用い，$\displaystyle \Phi(x)=2\log x-\frac{x^4}{2e}$ とおく。$1\leq x<p=e^{1/4}$ では $$\displaystyle \Phi'(x)=\frac{2(e-x^4)}{ex}>0,\qquad \Phi(p)=0.$$ よって $\Phi(x)<0$ であり，$g(x)-f(x)=-\Phi(x)/x^2>0$ となる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_1^p\left(g(x)-f(x)\right)\,dx\\ &=\int_1^p\left(\frac{x^2}{2e}-\frac{2\log x}{x^2}\right)\,dx\\ &=\left[\frac{x^3}{6e}+\frac{2(\log x+1)}x\right]_1^p\\ &=\frac83e^{-1/4}-2-\frac1{6e}. \end{aligned}$$