4名古屋市立大学 2017年 数学 第4問解答・解説

$k=n-1$ とおくと，$\cos(k\pi/3)$ は6周期であり，$k=0,1,2,3,4,5$ に対して順に $\displaystyle 1,\frac12,-\frac12,-1,-\frac12,\frac12$ となる。したがって，$j=0,1,2,\ldots$ に対して，$a_{6j+1},\ldots,a_{6j+6}$ は $2^{6j}(1,1,-2,-8,-8,16)$ であり，この6項の和は0である。よって，$r=0,1,2,3,4,5$ に対する部分和は$$S_{6j}=0,\quad S_{6j+1}=2^{6j},\quad S_{6j+2}=2^{6j+1},\quad S_{6j+3}=0,\quad S_{6j+4}=-2^{6j+3},\quad S_{6j+5}=-2^{6j+4}.$$ (1) $50=6\cdot8+2$ だから，$S_{50}=2^{6\cdot8+1}=2^{49}$。 (2) $n<169$ のとき，$n=6j+r$（$0\le r\le5$）と表す。$j\le26$ なら，各ブロックにおける $\lvert S_n\rvert$ の最大値は $2^{6j+4}\le2^{160}$ である。$j=27$ のときは，$r=0,1,2,3,4,5$ の順に部分和の絶対値は $0,2^{162},2^{163},0,2^{165},2^{166}$ なので，$\lvert S_n\rvert\le2^{166}$ である。残る $j=28$ は $n=168$ の場合だけであり，このとき $S_{168}=0$。したがって，$n<169$ なら常に $\lvert S_n\rvert\le2^{166}$ である。与えられた $\log_{10}2=0.3010$ を用いると $\log_{10}(2^{166})=166\cdot0.3010=49.966<50$ だから，$n<169$ では $\lvert S_n\rvert<10^{50}$。一方，$n=169=6\cdot28+1$ では $\lvert S_{169}\rvert=2^{168}$ であり，$\log_{10}(2^{168})=168\cdot0.3010=50.568>50$ より $\lvert S_{169}\rvert>10^{50}$。したがって最小の値は $n=169$ である。