2日本大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $x=1+2i$を左辺に代入する。$$x^2=(1+2i)^2=-3+4i,\qquad x^3=(1+2i)(-3+4i)=-11-2i.$$したがって$$(-11-2i)+a(-3+4i)-9(1+2i)+b=0.$$実部と虚部を比較すると$b-20-3a=0$、$4a-20=0$だから$a=5,b=35$。このとき多項式は$x^3+5x^2-9x+35=(x+7)(x^2-2x+5)$と因数分解できる。二次式の判別式は$(-2)^2-4\cdot5=-16<0$なので実数解は$x=-7$だけである。

(2) $u=2\theta$とおくと$0\le u\le\pi$であり、二倍角の公式から$$\displaystyle y=\frac12-\frac52(\sin u+\cos u).$$また$\sin u\ge0$、$\cos u\ge-1$より$\sin u+\cos u\ge-1$。等号は$u=\pi$で成り立つ。一方、$$(\sin u+\cos u)^2=1+2\sin u\cos u\le2$$であり、$0\le u\le\pi$では$\sin u+\cos u$の最小値が$-1$なので、特に上側は$\sin u+\cos u\le\sqrt2$。等号は$\displaystyle u=\frac\pi4$で成り立つ。よって$y$の最大値は$\displaystyle \frac12-\frac52(-1)=3$、最小値は$\displaystyle \frac12-\frac52\sqrt2=\frac{1-5\sqrt2}{2}$である。

(3) $t=\log_x y$とおく。$x,y\ne1$なので$t\ne0$、また$\log_y x=1/t$。従って$$\displaystyle t+\frac1t=2\quad\text{より}\quad (t-1)^2=0,$$ゆえに$t=1$、すなわち$y=x$。積の条件から$x^2=3^{126}$。$x>0$より$x=3^{63}$である。常用対数をとると$$\log_{10}x=63\log_{10}3=63\cdot0.4771=30.0573,$$従って$10^{30}<x<10^{31}$で、$x$は31桁である。

(4) $a_1=3\sqrt3=3^{3/2}$であり、漸化式と各項の正値から$$\displaystyle \log_3 a_{n+1}=\frac13\log_3 a_n,\qquad \log_3 a_k=\frac32\left(\frac13\right)^{k-1}.$$従って等比数列の和より$$\displaystyle S_n=\frac32\cdot\frac{1-(1/3)^n}{1-1/3}=\frac94(1-3^{-n}).$$$n\to\infty$で$3^{-n}\to0$だから$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac94$。