順天堂大学／2007年度／1次

順天堂大学 2007年数学第I問解答・解説

数列指数関数・対数関数積分法二次関数平面上の曲線と複素数平面ベクトル場合の数と確率数学と人間の活動（整数）三角関数図形と方程式いろいろな式

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1問題

順天堂大学2007年度第I問

$\square$ に適する解答をマークせよ。

(1) 整数 $a_1,a_2,a_3\ (0<a_1<a_2<a_3<40)$ がある。 $a_1,a_2,a_3$ は等比数列をなし、 $a_1,a_2,a_3-1$ は等差数列をなす。このような数列は $\boxed{\text{ア}}$ 通りあり、 $a_1+a_2+a_3$ が最大になるとき、その値は $\boxed{\text{イウ}}$ である。

(2) 方程式 $\displaystyle \log_2\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\log_2\sqrt{3x-13}=\frac{1}{4}$ の解は、小さい方から順に並べると $x=\boxed{\text{ア}},\ x=\boxed{\text{イ}}$ である。

(3) $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int_{-\frac{x}{2}}^{x}\sin t\,dt\quad(0\leq x\leq 2\pi)$ とする。 $f(x)$ は、 $\displaystyle \cos\frac{x}{2}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ のとき極大値 $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ をとり、 $x=\boxed{\text{オ}}\pi$ のとき最小値 $\boxed{\text{カキ}}$ をとる。

(4) $(2,1)$ を通る傾き $m$ の直線 $y=mx+(1-2m)$ が双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ と接するとき、 $m$ は方程式 $\boxed{\text{ア}}m^2+\boxed{\text{イ}}m-\boxed{\text{ウ}}=0$ を満たす。解と係数の関係より $m$ の2解の積は $\boxed{\text{エオ}}$ である。また、この双曲線に引いた2つの接線が直交するとき、その交点は、点 $(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$ を中心とする半径 $\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$ の円の上にある。

(5) 辺の長さが1、2、3である直方体がある。頂点から異なる3つの点を選び、その中の1点を始点とし、残りの2点を終点とする2つのベクトルを考える。このとき、このような始点と終点の組み合わせの数に対する、直交する組み合わせの数の割合は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。内積の最大値は $\boxed{\text{ウエ}}$ であり、正である最小の値は $\boxed{\text{オ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

整数列・対数・積分と二次関数・接線判別式・直方体の座標方向を、それぞれ構造に応じて利用した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad &\text{ア}=5,\quad \text{イウ}=91;\\ \text{(2)}\quad &x=5,7;\\ \text{(3)}\quad &\cos\frac{x}{2}=\frac14\text{で極大値 }\frac98,\quad x=2\pi\text{で最小値 }-2;\\ \text{(4)}\quad &5m^2+4m-5=0,\quad m_1m_2=-1,\quad X^2+Y^2=5;\\ \text{(5)}\quad &\text{直交割合}=\frac27,\quad (\vec u\cdot\vec v)_{\max}=13,\quad (\vec u\cdot\vec v)_{\text{正の最小}}=1. \end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 等比数列の公比を既約分数 $q/p$ （ $0<p<q,\ (p,q)=1$ ）とおくと、整数項は $a_1=kp^2,a_2=kpq,a_3=kq^2$ （ $k$ は正整数）と表せる。 $a_1,a_2,a_3-1$ が等差数列である条件は $2a_2=a_1+a_3-1\quad\text{すなわち}\quad k(q-p)^2=1.$ よって $k=1,q=p+1$ 。さらに $(p+1)^2<40$ より $p=1,2,3,4,5$ で、数列は5通り。和は $p^2+p(p+1)+(p+1)^2=3p^2+3p+1$ で増加するから、最大は $p=5$ のとき $25+30+36=91$ 。

(2) 対数の真数条件は $x>13/3$ 。対数の性質で方程式を整理すると $2\log_2(x-3)-\log_2(3x-13)=1 \quad\text{すなわち}\quad (x-3)^2=2(3x-13).$ 従って $x^2-12x+35=0$ 、解は $5,7$ 。どちらも定義域を満たす。

(3) 積分を計算して $f(x)=\cos(x/2)-\cos x.$ $u=\cos(x/2)$ とおくと $-1\le u\le1$ で、 $\cos x=2u^2-1$ より $f=1+u-2u^2$ 。下に凸でない（上に凸の）二次関数なので最大は頂点 $u=1/4$ で取り、その値は $1+1/4-2/16=9/8$ 。区間端点 $u=1,-1$ での値はそれぞれ0,−2なので、最小値−2は $x=2\pi$ で取る。

(4) 直線を $y=mx+c$ 、 $c=1-2m$ とおく。双曲線に代入すると $(4-9m^2)x^2-18mcx-9c^2-36=0.$ 接する条件は判別式が0であること。整理すると $c^2+4-9m^2=0$ 、よって $(1-2m)^2+4-9m^2=0\quad\text{すなわち}\quad5m^2+4m-5=0.$ 2根の積は $-5/5=-1$ 。次に $(X,Y)$ を2本の接線の交点、各接線の傾きを $m$ とする。点 $(X,Y)$ を通る傾き $m$ の直線は $y=mx+(Y-mX)$ であり、同じ判別式条件から $(X^2-9)m^2-2XYm+(Y^2+4)=0.$ その2根が直交する条件は積が $-1$ であることだから $(Y^2+4)/(X^2-9)=-1$ 、すなわち $X^2+Y^2=5$ 。従って交点は原点中心、半径 $\sqrt5$ の円上にある。

(5) 始点を固定すると、終点へのベクトルは3辺方向のうち1,2,3から一つ以上選んでできる方向集合 $S$ に対応する7本である。2本が直交するのは方向集合が互いに素な場合。順序を区別せず、共通要素のない二つの空でない集合の組は、異なる2つの1要素集合が3組、1要素集合とその補集合が3組、計6組である。全ての終点2点の組は $\displaystyle \binom72=21$ 組なので、直交割合は $6/21=2/7$ 。始点は8通りで、この割合は変わらない。内積は共通方向の辺長の二乗の和である。両ベクトルが全3方向を同符号で共有すると同じ終点となり許されないため、最大は重み4と9の和 $13$ 。正の最小は重み1だけを共有するときに実現し、例えば方向集合 $\{1,2\},\{1,3\}$ の内積は $1$ 。

この問題で使う考え方

等比数列の一般項と和
等差数列の一般項と和
約数・倍数
対数とその性質
三角・指数・対数関数等の積分
二倍角の公式
二次関数の最大・最小
直線の方程式

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