順天堂大学／2007年度／1次

順天堂大学 2007年数学第II問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

順天堂大学2007年度第II問

$\square$ に適する解答をマークせよ。ただし、それぞれの問題で同じ記号の $\square$ には同一の値がはいる。

関数 $f(x)=x^3-3x-18$ とし、 $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする。曲線 $C$ は、 $x$ 軸と1点 $A(\boxed{\text{ア}},0)$ で交わる。

曲線 $C$ の1点 $(s,f(s))$ を通る接線の方程式は、 $y=f'(s)(x-s)+f(s)$ と表される。この接線が $x$ 軸と $(t,0)$ で交わるとき、 $t$ と $s$ との関係式は $\boxed{\text{イ}}s^3-\boxed{\text{ウ}}ts^2+\boxed{\text{エ}}t+\boxed{\text{オカ}}=0$ となる。この $s$ についての方程式の実数解には、曲線 $C$ 上の接線が対応している。したがって、この方程式の解を調べることによって、 $(t,0)$ を通る接線がわかる。例えば、点 $A$ を通る接線は、 $y=\boxed{\text{キク}}x-\boxed{\text{ケコ}}$ と $\displaystyle y=\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}x-\frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$ の2本になっている。

この $s$ についての方程式の実数解の個数を調べることにより、 $\begin{aligned} t&<\boxed{\text{チツ}}\text{ のとき }\boxed{\text{テ}}\text{ 本},\\ t&=\boxed{\text{チツ}}\text{ のとき }\boxed{\text{ト}}\text{ 本},\\ \boxed{\text{チツ}}&<t<\boxed{\text{ナ}}\text{ のとき }\boxed{\text{ニ}}\text{ 本},\\ t&=\boxed{\text{ナ}}\text{ のとき }\boxed{\text{ヌ}}\text{ 本},\\ t&>\boxed{\text{ナ}}\text{ のとき }\boxed{\text{ネ}}\text{ 本の接線が存在することがわかる。} \end{aligned}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

接線のx切片条件を接点パラメータの三次方程式に変換し、極値の符号とt=0の単調性で異なる実根を数えた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア $=3,\space{}$ イ $=2,\space{}$ ウ $=3,\space{}$ エ $=3,\space{}$ オカ $\displaystyle =18;\quad y=24x-72,\space{}y=\frac{15}{4}x-\frac{45}{4};\quad$ チツ $=-6,\space{}$ テ $=3,\space{}$ ト $=2,\space{}$ ナ $=3,\space{}$ ニ $=1,\space{}$ ヌ $=2,\space{}$ ネ $=3.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=(x-3)(x^2+3x+6)$ であり、 $x^2+3x+6$ の判別式は $-15<0$ である。したがって $A=(3,0)$ （ア=3）。

接点を $(s,f(s))$ とすると、接線が $(t,0)$ を通る条件は $0=(3s^2-3)(t-s)+s^3-3s-18 \quad\text{すなわち}\quad 2s^3-3ts^2+3t+18=0.$ よってイ=2、ウ=3、エ=3、オカ=18。 $t=3$ を代入すると $2s^3-9s^2+27=(s-3)^2(2s+3)=0.$ 相異なる接点の $s$ は $3,-3/2$ である。接線の傾き $f'(s)=3s^2-3$ を使うと、Aを通る2本は $\displaystyle y=24(x-3)=24x-72,\qquad y=\frac{15}{4}(x-3)=\frac{15}{4}x-\frac{45}{4}$ である。

接線の本数を数えるため $G_t(s)=2s^3-3ts^2+3t+18$ と置く。すると $G_t'(s)=6s(s-t),\qquad G_t(0)=3(t+6),\qquad G_t(t)=-(t-3)(t^2+3t+6).$ $t^2+3t+6>0$ はすべての実数 $t$ で成り立つ。 $t<0$ のとき $G_t$ は $s=t$ で極大、 $s=0$ で極小となる。 $t>0$ のときは $s=0$ で極大、 $s=t$ で極小となる。

$t<-6$ では $G_t(t)>0>G_t(0)$ より実根は3個。 $t=-6$ では $G_{-6}(s)=2s^2(s+9)$ より相異なる実根は2個。 $-6<t<0$ では両極値が正なので実根は1個。 $t=0$ では $G_0(s)=2s^3+18$ が厳密に増加するため実根は1個。 $0<t<3$ でも両極値が正なので実根は1個。 $t=3$ では $G_3(s)=(s-3)^2(2s+3)$ より2個。 $t>3$ では $G_t(0)>0>G_t(t)$ より3個である。

異なる接点 $s_1,s_2$ の接線が同一なら、その $y$ 切片 $-2s^3-18$ が等しいから $s_1^3=s_2^3$ 、したがって $s_1=s_2$ となる。ゆえに相異なる実根の個数がそのまま接線の本数であり、順に $3,2,1,2,3$ 本である。

この問題で使う考え方

剰余・因数定理
二次方程式の判別式
多項式の導関数
接線の方程式
導関数と増減
極大・極小

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。