1琉球大学 2021年 数学 第1問解答・解説

問1. $f(1)=0$ であるから、因数定理により $$f(x)=(x-1)(2x^2-x-7)$$ となる。二次方程式 $2x^2-x-7=0$ の判別式は $1+56=57$ なので、その解は $\displaystyle x=\dfrac{1\pm\sqrt{57}}{4}$ である。したがって、求める解は $\displaystyle x=\dfrac{1-\sqrt{57}}{4},1,\dfrac{1+\sqrt{57}}{4}$ である。

問2. $$f'(x)=6x^2-6x-6=6(x^2-x-1)$$ より、$f'(x)=0$ の解は $\displaystyle x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ である。二次式 $x^2-x-1$ は上に開き、これら二つの解の間で負、外側で正となる。よって、$f(x)$ は $\displaystyle x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ で極大、$\displaystyle x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ で極小となる。したがって、$\displaystyle \alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\ \beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。

問3. $2x^2-x-7=0$ の解は問1より $\displaystyle \gamma=\dfrac{1-\sqrt{57}}{4}$、$\displaystyle \delta=\dfrac{1+\sqrt{57}}{4}$ である。$\sqrt{57}>7$、$\sqrt{5}<3$ より、$\gamma<-1<\alpha<\beta<2<\delta$ となる。したがって、$2x^2-x-7$ は $\alpha\le x\le\beta$ の範囲で負であり、$f(x)=(x-1)(2x^2-x-7)$ は $\alpha\le x\le1$ の範囲で非負、$1\le x\le\beta$ の範囲で非正である。 $\displaystyle F(x)=\dfrac12x^4-x^3-3x^2+7x$ とおくと、$F'(x)=f(x)$ である。また $t=\alpha,\beta$ では $t^2=t+1$ だから、$t^3=2t+1$、$t^4=3t+2$ であり、$\displaystyle F(t)=\dfrac72t-3$ となる。さらに $\displaystyle F(1)=\dfrac72$、$\alpha+\beta=1$ より、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{\alpha}^{1}f(x)\,dx-\int_{1}^{\beta}f(x)\,dx\\ &=2F(1)-F(\alpha)-F(\beta)\\ &=7-\left\{\dfrac72(\alpha+\beta)-6\right\}=\dfrac{19}{2}. \end{aligned}$$ である。