1和歌山県立医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(-1)=0$ より、因数定理を用いて $f(x)=(x+1)g(x)$ とおくと、$g$ は最高次係数が $1$ の二次式である。もし $g(-1)=0$ なら、実数係数の二次式であることから $g(x)=(x+1)(x-r)$ となる実数 $r$ がある。$r\ne-1$ なら $x=r$ でも $C$ は $x$ 軸と交わり、$r=-1$ なら $f(x)=(x+1)^3$ となって $f'(x)=3(x+1)^2\ge0$ だから傾き $-1$ の接線が存在しない。いずれも条件に反するので $g(-1)\ne0$ である。また、$g$ に実数解があれば $-1$ 以外で $C$ が $x$ 軸と交わることになるため、$g$ は実数解をもたない。最高次係数が正の二次式なので $g(x)>0$、特に $g(-1)>0$ である。$f'(-1)=g(-1)$ より $f'(-1)>0$。

(2) 傾き $-1$ の接線の接点の $x$ 座標は $f'(x)=-1$、すなわち $f'(x)+1=3x^2+2ax+b+1=0$ の解である。この二次式が異なる二つの実数解をもつとき、$h(x)=f(x)+x$ はその二点の間で減少するため、接線の切片 $h(x)$ は二点で異なり、異なる二本の接線になる。したがって、傾き $-1$ の接線がただ一つという条件は、この二次方程式が重解をもつことを意味する。判別式を $0$ として $$\displaystyle (2a)^2-12(b+1)=0,\qquad b+1=\frac{a^2}{3}.$$ さらに $f(-1)=0$ から $c=1-a+b$ であり、$f(x)=(x+1)\{x^2+(a-1)x+c\}$ となる。(1)で示したように二次因子は実数解をもたないので、その判別式は負である。よって $$(a-1)^2-4c<0.$$ ここに $\displaystyle b=\frac{a^2}{3}-1$、$\displaystyle c=b-a+1=\frac{a^2}{3}-a$ を代入すると $$\displaystyle (a-1)^2-\frac{4a(a-3)}{3}<0.$$ 両辺に3を掛けて整理すると、これは $$a^2-6a-3>0$$ と同値である。この二次不等式を解くと $$a<3-2\sqrt3\quad\text{または}\quad a>3+2\sqrt3.$$

(3) 接点が $x=1$ なので、$f'(x)+1$ は重解 $1$ をもち、最高次係数が $3$ であるから $f'(x)+1=3(x-1)^2$ である。係数を比較して $a=-3, b=2$。また $f(-1)=0$ から $c=6$ となり、$f(x)=x^3-3x^2+2x+6$ である。接線は $f(1)=6$ より $\ell:y=7-x$。さらに $$f(x)-(7-x)=(x-1)^3,$$ また $f(x)=(x+1)(x^2-4x+6)$ であり、二次因子は常に正である。したがって三曲線で囲まれる部分は、$-1\le x\le1$ では $x$ 軸と $C$、$1\le x\le7$ では $x$ 軸と $\ell$ の間にある。その面積は $$\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^3-3x^2+2x+6)\,dx+\int_1^7(7-x)\,dx=10+18=28.$$ 係数から得た式は $f(-1)=0$ を満たし、接線差は $(x-1)^3$ なので接点条件とも一致する。