2和歌山県立医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}(a^2+1)$ とおく。$0\le a\le\pi$ より $\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\alpha\le\frac{\pi}{4}(\pi^2+1)$ であり、$3<\pi<\sqrt{11}$ から $\displaystyle \frac{5\pi}{2}<\frac{\pi}{4}(\pi^2+1)<3\pi$ である。

(1) 式は $\cos\theta=-\sin\alpha$ である。$0\le\theta\le\pi$ では $\cos\theta$ は単調に減少し、値から $\theta$ が一意に定まる。各区間で三角関数の加法定理を用いると $$\displaystyle \theta=\begin{cases} \frac{\pi}{2}+\alpha&\left(\frac{\pi}{4}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\right),\\ \frac{3\pi}{2}-\alpha&\left(\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{3\pi}{2}\right),\\ \alpha-\frac{3\pi}{2}&\left(\frac{3\pi}{2}\le\alpha\le\frac{5\pi}{2}\right),\\ \frac{7\pi}{2}-\alpha&\left(\frac{5\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{4}(\pi^2+1)\right). \end{cases}$$ 実際、各式を右辺に代入すると $\cos\theta=-\sin\alpha$ となり、どれも指定範囲 $0\le\theta\le\pi$ を満たす。

(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}(x^2+1)$ とおくと、(1)の境界角は $x=1,\sqrt5,3$ でそれぞれ $\pi,0,\pi$ となる。したがって境界を $y=g(x)$ と書けば $$\displaystyle g(x)=\begin{cases} \frac{\pi}{4}(x^2+3)&0\le x\le1,\\ \frac{\pi}{4}(5-x^2)&1\le x\le\sqrt5,\\ \frac{\pi}{4}(x^2-5)&\sqrt5\le x\le3,\\ \frac{\pi}{4}(13-x^2)&3\le x\le\pi. \end{cases}$$ 各区間で $\cos y$ は減少するから、$\sin\alpha+\cos y\ge0$ は $y\le g(x)$ と同値である。よって求める領域は $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le g(x)$ の部分である。境界は次の5点を通る。 $$\displaystyle \begin{gathered} (0,3\pi/4),\quad(1,\pi),\quad(\sqrt5,0),\\ (3,\pi),\quad\left(\pi,\frac{\pi(13-\pi^2)}4\right). \end{gathered}$$ これら4つの放物線弧をつなぎ、その下側を塗る。接続点では角があり、境界全体が滑らかにつながるわけではない。境界も領域に含む。

青い部分が求める領域である。右端の境界点の高さは $\pi(13-\pi^2)/4$ であり、図の4本の曲線は上に示した $g(x)$ の各式をそのまま描いている。