4大阪大学 2005年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$ では $\displaystyle \cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}$ である。$Q$ は $y=0$ 上にあるから $$\displaystyle 1-t^2+\frac{t}{\sqrt2}=0 \quad\text{すなわち}\quad (t-\sqrt2)\left(t+\frac{1}{\sqrt2}\right)=0.$$ また $\displaystyle x=\frac{t}{\sqrt2}$ なので、$x\geq0$ を満たすのは $t=\sqrt2$ である。したがって $Q$ の $x$ 座標は $1$ である。

(2) 曲線上の点 $(x,y)$ に対し $T=t^2$ とおくと、$T\geq0$ であり、 $$t\cos\theta=x,\qquad t\sin\theta=y-1+T.$$ よって $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ から $$x^2+(y-1+T)^2=T,$$ すなわち $$T^2+(2y-3)T+x^2+(y-1)^2=0. \tag{1}$$ この二次方程式が実数解をもつための条件は $$(2y-3)^2-4\{x^2+(y-1)^2\}=5-4y-4x^2\geq0,$$ すなわち $\displaystyle y\leq\frac54-x^2$ である。

この条件は十分でもある。実際、この不等式のもとで (1) の判別式は $0$ 以上であり、二解の和は $\displaystyle 3-2y\geq\frac12>0$、積は $x^2+(y-1)^2\geq0$ であるから、少なくとも一つの解 $T$ は $T\geq0$ である。$T=0$ のときは (1) より $(x,y)=(0,1)$ であり、これは $t=0$ で得られる。$T>0$ のときは $$\displaystyle \cos\theta=\frac{x}{\sqrt T},\qquad \sin\theta=\frac{y-1+T}{\sqrt T}$$ と定めると、(1) によりこの二数の平方和は $1$ となるので、その値をもち、$0\le\theta<2\pi$ を満たす$\theta$が存在する。$t=\sqrt T$ とすれば元の座標式を満たす。したがって通過範囲は $$\displaystyle \boxed{y\leq\frac54-x^2}$$ である。境界は頂点 $\displaystyle (0,\frac54)$ の下向きの放物線 $\displaystyle y=\frac54-x^2$ であり、$x$ 軸とは $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt5}{2},0\right)$、$\displaystyle \left(\frac{\sqrt5}{2},0\right)$ で交わる。この放物線とその下側（境界を含む）が通過範囲である。

(3) $Q$ では $y=0$ だから、(1) は $$T^2-3T+x^2+1=0$$ となる。これが実数解をもつには判別式 $9-4(x^2+1)=5-4x^2$ が $0$ 以上でなければならず、$\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\sqrt5}{2}$ である。上端は実現する。実際、$\displaystyle x=\frac{\sqrt5}{2}$、$\displaystyle T=\frac32$ とすると上の方程式が成り立つ。このとき $$\displaystyle t\sin\theta=T-1=\frac12,\qquad t\cos\theta=x=\frac{\sqrt5}{2},$$ したがって $$\displaystyle \tan\theta=\frac{t\sin\theta}{t\cos\theta}=\boxed{\frac{1}{\sqrt5}}.$$