1筑波大学 2015年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}(1)\quad x^2+y\le1&\text{であるための必要十分条件は} y\le1-x^2,\\x-y\le1&\text{であるための必要十分条件は} y\ge x-1,\\x-1\le1-x^2&\text{であるための必要十分条件は} (x+2)(x-1)\le0\text{、すなわち} -2\le x\le1.\\y=x-1=1-x^2&\text{であるための必要十分条件は} x=-2,1,\quad (x,y)=(-2,-3),(1,0).\\[3pt](2)\quad x^2-2x+k=-x^2+1&\text{であるための必要十分条件は} x^2-x+\frac{k-1}{2}=0,\\\Delta&=1-2(k-1)=3-2k\ge0\text{であるための必要十分条件は} k\le\frac32.\\[3pt](3)\quad q(x,y)&=y-x^2+2x,\quad -2\le x\le1,\quad x-1\le y\le1-x^2.\\q&\text{ は、$x$ を固定すると $y$ とともに増加する。}\\q(x,1-x^2)&=1+2x-2x^2=\frac32-2\left(x-\frac12\right)^2\le\frac32,\\q\left(\frac12,\frac34\right)&=\frac32.\\q(x,x-1)&=-x^2+3x-1,\\q(x,x-1)-(-11)&=(x+2)(5-x)\ge0\quad(-2\le x\le1),\\q(-2,-3)&=-11.\end{aligned}$$

(1)の領域。実線の境界と2つの交点を含む。